Questão 2: Use a definição de operador diagonalizável, para verificar quais operadores são diagonalizáveis nos casos:
T: \mathbf{R}^{3} \longleftrightarrow \mathbf{R}^{3}, dado por T(x, y, z)=(2 x+y, 2 x-y+z, x+2 y)

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 por
T(x,y,z) = (2x+y,\;2x - y + z,\; x + 2y)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos (i) obter a matriz de T na base canônica, (ii) calcular seu polinômio característico, (iii) mostrar que ele tem três autovalores reais distintos e (iv) concluir sobre a existência de uma base de autovetores.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,2,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(1,-1,2),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,1,0).
Logo, a matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\\\ 2 & -1-\lambda & 1\\\\ 1 & 2 & -\lambda \end{pmatrix} =\lambda^3 - \lambda^2 - 6\lambda + 3.

Passo 4

Para ver que \chi_A tem três raízes reais distintas, basta notar as mudanças de sinal:
\chi_A(-3)=-15<0 e \chi_A(-2)=3>0 \Rightarrow uma raiz em (-3,-2);
\chi_A(0)=3>0 e \chi_A(1)=-3<0 \Rightarrow uma raiz em (0,1);
\chi_A(2)=-5<0 e \chi_A(3)=3>0 \Rightarrow uma raiz em (2,3).
Assim, são três autovalores reais distintos.

Passo 5

Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, a multiplicidade geométrica também é 1 para cada um. Logo, existem três autovetores linearmente independentes que formam uma base de \mathbf{R}^3. Pela definição, isso significa que T é diagonalizável.

Resposta

O operador T é diagonalizável.

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