Questão 2: Use a definição de operador diagonalizável, para verificar quais operadores são diagonalizáveis nos casos: T: \mathbf{R}^{3} \longleftrightarrow \mathbf{R}^{3}, dado por T(x, y, z)=(2 x+y, 2 x-y+z, x+2 y)
Passo 1
O enunciado define o operador linear T:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 por
T(x,y,z) = (2x+y,\;2x - y + z,\; x + 2y)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos (i) obter a matriz de T na base canônica, (ii) calcular seu polinômio característico, (iii) mostrar que ele tem três autovalores reais distintos e (iv) concluir sobre a existência de uma base de autovetores.
Para ver que \chi_A tem três raízes reais distintas, basta notar as mudanças de sinal: \chi_A(-3)=-15<0 e \chi_A(-2)=3>0 \Rightarrow uma raiz em (-3,-2); \chi_A(0)=3>0 e \chi_A(1)=-3<0 \Rightarrow uma raiz em (0,1); \chi_A(2)=-5<0 e \chi_A(3)=3>0 \Rightarrow uma raiz em (2,3).
Assim, são três autovalores reais distintos.
Passo 5
Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, a multiplicidade geométrica também é 1 para cada um. Logo, existem três autovetores linearmente independentes que formam uma base de \mathbf{R}^3. Pela definição, isso significa que T é diagonalizável.