Scja A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & a^{2} & 1\end{array}\right], onde a \in \mathbb{R}.
(a) (1,0 ponto) Para a=2, calcule a inversa de A.
(b) ( 1,5 ponto) Mostre que A é invertível se, e somente se, a \neq 1 e a \neq-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & a^{2} & 1 \end{pmatrix}
em que a\in\mathbb{R}.
Parte (a) pede a inversa de A quando a=2.
Parte (b) pede que a gente mostre que A é invertível se, e somente se, a\neq1 e a\neq-1.

Passo 2

Para (a) usamos a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
isto é, calculamos o determinante de A em a=2 e a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 3

Quando a=2 temos a^{2}=4 e
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 4&1\end{pmatrix} =1\cdot(1-4)=-3.
Os cofatores levam à matriz adjunta
\mathrm{adj}(A) =\begin{pmatrix} -3 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & -4& 1 \end{pmatrix},
logo
A^{-1} =\frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -3 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & -4& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Para (b) lembramos que A é invertível \Leftrightarrow \det(A) \neq 0. Em geral,
\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\ a^{2} & 1\end{pmatrix} = 1 - (a^{2}) = 1 - a^{2}.
Logo \det(A) \neq 0 exatamente quando 1 - a^{2} \neq 0, i.e.\ a \neq 1 e a \neq -1.

Resposta

(a)
A^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
(b)
A é invertível se, e somente se,
\det(A)=1-a^2\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq1,\;a\neq-1.

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