\;x^{2}+y^{2}\le 5\; (pontos no disco de raio \sqrt{5} centrado na origem).
A pergunta é: calcular a área da região A.
Passo 2
Interpretação das desigualdades e simplificações iniciais (passo didático e importante).
Como x>0 e xy>0, segue que y>0. Logo a região está no primeiro quadrante (x>0,\;y>0).
A condição xy<2 pode ser escrita comoy<\frac{2}{x}\quad(\text{para }x>0),ou seja, acima do eixo x e abaixo da hipérbole y=2/x.
A condição x^{2}+y^{2}\le 5 limita os pontos ao interior do círculo de raio \sqrt{5}. Para y\ge0 a borda superior do disco é dada pory=\sqrt{5-x^{2}}.
Portanto, para cada x>0 dentro do disco, os pontos admissíveis têm0<y<\min\!\left(\sqrt{5-x^{2}},\;\frac{2}{x}\right).
A área procurada é, então, a integral em x do limite superior \min(\sqrt{5-x^{2}},2/x) sobre os valores de x permitidos (aqueles para os quais a interseção com o disco existe).
Passo 3
Determinar os pontos em que as curvas que limitam a região se cruzam (interseções cruciais para dividir o domínio em x-intervalos).
Resolver o sistema de igualdade entre a borda superior do disco e a hipérbole:\sqrt{5-x^{2}}=\frac{2}{x}.Elevar ao quadrado (cuidado: como estamos em x>0,\;y>0 não geramos raízes espúrias ao elevar):5-x^{2}=\frac{4}{x^{2}}.Multiplicando por x^{2}:5x^{2}-x^{4}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}-5x^{2}+4=0.Fazer u=x^{2} leva au^{2}-5u+4=0 \quad\Longrightarrow\quad (u-1)(u-4)=0,portanto u=1 ou u=4. Como u=x^{2} e x>0, obtemosx=1\quad\text{ou}\quad x=2.Nos pontos correspondentes, y=2/x dá y=2 em x=1 e y=1 em x=2. Ambos satisfazem x^{2}+y^{2}=5.
Conclusão: as curvas se intersectam em (1,2) e (2,1).
Passo 4
Decidir em que intervalos de x cada função é o menor (isto determina os limites de integração).
Para 0<x<1: testar um ponto, por exemplo x=0{,}5. Calcula-se\sqrt{5-x^{2}}\big|_{x=0{,}5}\approx\sqrt{4{,}75}\approx2{,}18,\qquad \frac{2}{x}\big|_{x=0{,}5}=4.Logo \sqrt{5-x^{2}}<2/x. Assim, para 0<x<1 o teto é y=\sqrt{5-x^{2}}.
Para 1<x<2: testar x=1{,}5. Calcula-se\sqrt{5-1{,}5^{2}}=\sqrt{2{,}75}\approx1{,}658,\qquad \frac{2}{1{,}5}\approx1{,}333.Agora 2/x<\sqrt{5-x^{2}}. Logo, para 1<x<2 o teto é y=2/x.
Para 2<x\le\sqrt{5}: testar x=2{,}1. Calcula-se\sqrt{5-2{,}1^{2}}=\sqrt{0{,}59}\approx0{,}768,\qquad \frac{2}{2{,}1}\approx0{,}952,e temos \sqrt{5-x^{2}}<2/x. Então para 2<x\le\sqrt{5} o teto volta a ser y=\sqrt{5-x^{2}}.
Observação sobre o suporte em x: o disco com y\ge0 existe para 0\le x\le\sqrt{5}. Portanto o intervalo em x relevante é 0<x\le\sqrt{5}.
Resumo (partição do intervalo de integração em x):
0<x<1: 0<y<\sqrt{5-x^{2}}.
1<x<2: 0<y<\dfrac{2}{x}.
2<x\le\sqrt{5}: 0<y<\sqrt{5-x^{2}}.
Passo 5
Montar a integral da área em x usando a partição encontrada.
A área é\text{Area}(A)=\int_{0}^{1}\sqrt{5-x^{2}}\,dx \;+\; \int_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx \;+\; \int_{2}^{\sqrt{5}}\sqrt{5-x^{2}}\,dx.
Agrupar as integrais do termo \sqrt{5-x^{2}}:\text{Area}(A)=\int_{0}^{\sqrt{5}}\sqrt{5-x^{2}}\,dx \;-\; \int_{1}^{2}\sqrt{5-x^{2}}\,dx \;+\; \int_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx.(isto é, somando a parte de 0 a \sqrt{5} e substituindo no trecho 1 a 2 a função \sqrt{5-x^{2}} por 2/x.)
Passo 6
Calcular as integrais conhecidas (explicando as fórmulas usadas).
Primeiro, a integral da semicircunferência: para um círculo de raio a a área do quarto de círculo (parte x\ge0,\;y\ge0) é \dfrac{\pi a^{2}}{4}. Aqui a=\sqrt{5}, logo\int_{0}^{\sqrt{5}}\sqrt{5-x^{2}}\,dx=\frac{\pi (\sqrt{5})^{2}}{4}=\frac{5\pi}{4}.Explicação da fórmula: \int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx é a área da semicircunferência de raio a, que vale \tfrac{\pi a^{2}}{2}. Metade disso (integral de 0 a a) é \tfrac{\pi a^{2}}{4}.
Segundo, a integral logarítmica:\int_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx = 2\left[\ln x\right]_{1}^{2}=2\ln 2.(Fórmula usada: \int \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|+C.)
Terceiro, a integral \displaystyle \int_{1}^{2}\sqrt{5-x^{2}}\,dx. Usar a antiderivada padrão:\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,onde a=\sqrt{5} e a^{2}=5. (Explicação: essa antiderivada pode ser obtida por substituição trigonométrica x=a\sin t.)
Aplicando nos limites 1 e 2:\begin{aligned} I:=\int_{1}^{2}\sqrt{5-x^{2}}\,dx &=\left[\frac{x}{2}\sqrt{5-x^{2}}+\frac{5}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)\right]_{1}^{2}\\[6pt] &=\Bigg(\frac{2}{2}\sqrt{5-4}+\frac{5}{2}\arcsin\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\Bigg) -\Bigg(\frac{1}{2}\sqrt{5-1}+\frac{5}{2}\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\Bigg)\\[6pt] &=\Big(1+\frac{5}{2}\arcsin\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\Big)-\Big(1+\frac{5}{2}\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\Big)\\[4pt] &=\frac{5}{2}\Bigg(\arcsin\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)-\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\Bigg). \end{aligned}]
Passo 7
Simplificar a expressão envolvendo arcosenos usando identidades trigonométricas (aí vem a boa surpresa que cancela termos).
Note que se \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right), então \sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{5}}. Logo\cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.Assim \arcsin\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=\arcsin(\cos\theta). Para \theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right) vale \arcsin(\cos\theta)=\dfrac{\pi}{2}-\theta. Portanto\arcsin\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)-\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\theta=\frac{\pi}{2}-2\theta.Voltando à notação original,\arcsin\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)-\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =\frac{\pi}{2}-2\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Substituir isso em I:I=\frac{5}{2}\left(\frac{\pi}{2}-2\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right) =\frac{5\pi}{4}-5\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Passo 8
Montar a expressão final da área e simplificar (todas as peças agora se combinam).
Observação final sobre a forma alternativa: como \arcsin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) satisfaz \tan\theta=\dfrac{1}{2} (veja o passo 7, onde \cos\theta=\tfrac{2}{\sqrt{5}}), temos também a forma equivalente\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right),então outra forma útil da resposta é\text{Area}(A)=5\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)+2\ln 2.