Resolva o PVI ly^prime=sen(t) y y(pi / 2)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Equações Diferenciais. A gente tem uma equação do tipo y' = sin(t) cdot y com a condição inicial y(pi2) = 1 . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
y' + P(t) cdot y = 0
Comparando com a nossa equação y' = sin(t) cdot y , percebemos que:
P(t) = -sin(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. Esse fator é uma função que, quando multiplicada na equação, facilita a resolução. A fórmula do fator integrante mu(t) é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) :
mu(t) = e^integral -sin(t) , dt = e^cos(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^cos(t) cdot y' = e^cos(t) cdot sin(t) cdot y
Isso transforma a equação em:
ddt( e^cos(t) cdot y ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral ddt( e^cos(t) cdot y ) , dt = integral 0 , dt
O que simplifica para:
e^cos(t) cdot y = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y :
y = C cdot e^-cos(t)

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar C . Sabemos que quando t = pi2 , y = 1 :
1 = C cdot e^-cos(pi2)
Como cos(pi2) = 0 :
1 = C cdot e^0 Rightarrow C = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-cos(t)

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