Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle 1, \cos t, 2 \operatorname{sen} t\rangle
\mathbf{r}(t)=\langle 1, \cos t, 2 \operatorname{sen} t\rangle
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
para
. Aqui o conteúdo é curvas em
: vamos identificar seu lugar geométrico e a direção de variação de
.
Passo 2
Observe que a coordenada
é constante, então a curva vive no plano vertical
. As outras duas coordenadas satisfazem
Eliminando
usando
, obtemos a equação cartesiana
que é uma elipse no plano
. Dessa equação vemos que a elipse tem semieixo maior de comprimento
ao longo de
(porque
) e semieixo menor de comprimento
ao longo de
. O centro da elipse é
.
Passo 3
Para determinar a orientação, calculemos pontos-chave:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
Isso mostra que, ao aumentar, a curva vai de a a , ou seja, é percorrida no sentido anti-horário quando vista do lado positivo do eixo .
Passo 4
Esboço: no plano paralelo
em
, trace uma elipse de semieixos
em
e
em
. Marque as setas partindo de
indo para
, depois para
e assim por diante, no sentido anti-horário.
Resposta
A curva é a elipse
no plano
, com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
), percorrida no sentido anti-horário quando
cresce.