Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle 1, \cos t, 2 \operatorname{sen} t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=lang<= 1,cos t,2sin trang<=
para tinR. Aqui o conteúdo é curvas em R^3: vamos identificar seu lugar geométrico e a direção de variação de t.

Passo 2

Observe que a coordenada x=1 é constante, então a curva vive no plano vertical x=1. As outras duas coordenadas satisfazem
y=cos t, z=2sin t
Eliminando t usando cos^2t+sin^2t=1, obtemos a equação cartesiana
y^2 + l(z2r)^2 = 1,
que é uma elipse no plano x=1. Dessa equação vemos que a elipse tem semieixo maior de comprimento 2 ao longo de z (porque z/2) e semieixo menor de comprimento 1 ao longo de y. O centro da elipse é (1,0,0).

Passo 3

Para determinar a orientação, calculemos pontos-chave:
  • Em t=0: r(0)=(1,1,0).
  • Em t=tfracpi2: rl(tfracpi2r)=(1,0,2).
  • Em t=pi: r(pi)=(1,-1,0).
    Isso mostra que, ao aumentar t, a curva vai de (1,1,0) a (1,0,2) a (1,-1,0), ou seja, é percorrida no sentido anti-horário quando vista do lado positivo do eixo x.

Passo 4

Esboço: no plano paralelo yz em x=1, trace uma elipse de semieixos 1 em y e 2 em z. Marque as setas partindo de (1,1,0) indo para (1,0,2), depois para (1,-1,0) e assim por diante, no sentido anti-horário.

Resposta

A curva é a elipse
x=1, y^2 + l(z2r)^2 = 1
no plano x=1, com semi-eixos 1 (eixo y) e 2 (eixo z), percorrida no sentido anti-horário quando t cresce.

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