Mostre que a curva com equações paramétricas x=sen t, y=cos t, z=sen^2 t é a curva de intersecção das superfícies z=x^2 e x^2+y^2=1. Use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
x = sen t, y = cos t, z = sen^2t
e pede para mostrar que ela coincide com a interseção das superfícies
z = x^2 e x^2 + y^2 = 1
e, em seguida, usar esse fato para esboçar a curva. O conteúdo é geometria no espaço e parametrização de curvas pela interseção de superfícies.

Passo 2

Verificamos que cada ponto da curva satisfaz o cilindro x^2+y^2=1. De fato,
(sen t)^2+(cos t)^2 = sen^2t+cos^2t =1
Logo, todo ponto (x,y,z) da curva está em x^2+y^2=1.

Passo 3

Agora verificamos que cada ponto da curva satisfaz o paraboloide z=x^2. Substituindo temos
z = sen^2t e x^2 = (sen t)^2 = sen^2t,
logo z = x^2. Assim todo ponto parametrizado está também em z=x^2.

Passo 4

Para mostrar que não há pontos extras, considere um ponto (x,y,z) que satisfaça
x^2+y^2=1 e z=x^2
Do primeiro, existe t tal que x=sen t e y=cos t. Então do segundo segue z=sen^2t. Isso coincide exatamente com a parametrização dada. Portanto a curva parametrizada é precisamente a interseção das duas superfícies.

Passo 5

Para esboçar a curva note que ela fica sobre o cilindro de raio 1 em torno do eixo z. Ao percorrer t de 0 a 2pi damos uma volta completa no cilindro ( x=sen t,y=cos t), mas a altura z=sen^2t oscila entre 0 e 1 com período pi. Ou seja, começamos em (0,1,0), subimos até (1,0,1), voltamos a z=0 em (0,-1,0), subimos de novo até (!-!1,0,1) e retornamos a (0,1,0). No esboço vemos um “traço ondulado” enrolado no cilindro.

Resposta

A curva de interseção é dada por
l(x,y,zr) =l(sen t,;cos t,;sen^2tr), tin[0,2pi],
e seu esboço é um traço ondulado em volta do cilindro x^2+y^2=1, com altura variando de 0 a 1 segundo z=sen^2t.

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