Mostre que a curva com equações paramétricas
,
é a curva de intersecção das superfícies
. Use esse fato para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede para mostrar que ela coincide com a interseção das superfícies
e, em seguida, usar esse fato para esboçar a curva. O conteúdo é geometria no espaço e parametrização de curvas pela interseção de superfícies.
Passo 2
Verificamos que cada ponto da curva satisfaz o cilindro
. De fato,
Logo, todo ponto
da curva está em
.
Passo 3
Agora verificamos que cada ponto da curva satisfaz o paraboloide
. Substituindo temos
logo
. Assim todo ponto parametrizado está também em
.
Passo 4
Para mostrar que não há pontos extras, considere um ponto
que satisfaça
Do primeiro, existe
tal que
e
. Então do segundo segue
. Isso coincide exatamente com a parametrização dada. Portanto a curva parametrizada é precisamente a interseção das duas superfícies.
Passo 5
Para esboçar a curva note que ela fica sobre o cilindro de raio 1 em torno do eixo
. Ao percorrer
de
a
damos uma volta completa no cilindro (
), mas a altura
oscila entre
e
com período
. Ou seja, começamos em
, subimos até
, voltamos a
em
, subimos de novo até
e retornamos a
. No esboço vemos um “traço ondulado” enrolado no cilindro.
Resposta
A curva de interseção é dada por
e seu esboço é um traço ondulado em volta do cilindro
, com altura variando de
a
segundo
.