Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t)=(1, cos t, sen t)

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(1,cos t,sin tr)
e pede o esboço do gráfico em R^3 com indicação da direção em que o parâmetro t cresce. Para isso vamos (i) eliminar t para reconhecer a forma geométrica e (ii) verificar alguns valores de t para achar a orientação.

Passo 2

Da parametrização temos
x(t)=1, y(t)=cos t, z(t)=sin t
Logo
y^2+z^2=cos^2t+sin^2t=1,
e x=1 é constante. Portanto a curva é o círculo de raio 1 e centro (1,0,0) contido no plano x=1.

Passo 3

Para achar a direção, calculemos pontos-chave:
,t=0Rightarrow (1,cos0,sin0)=(1,1,0) ,t=tfracpi2Rightarrow(1,0,1) ,t=piRightarrow(1,-1,0) ,t=tfrac3pi2Rightarrow(1,0,-1).
Assim, ao crescer t, o ponto sai de (1,1,0), vai para (1,0,1), depois para (1,-1,0) e assim por diante, girando de forma anti-horária quando visto de quem olha na direção positiva de x.

Passo 4

No plano x=1 traçamos um círculo de raio 1, eixo y horizontal e eixo z vertical. Em (1,1,0) colocamos uma seta apontando em direção a (1,0,1), e continuamos as setas circulando o círculo anti-horariamente.

Resposta

O gráfico é o círculo
(1,y,z)mid y^2+z^2=1
no plano x=1, com setas indicando movimento de (1,1,0) para (1,0,1) para (1,-1,0) etc., isto é, sentido anti-horário visto do eixo x>0.

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