1. Se A é uma matriz triangular superior, então A^2 é .
    9 Ache x, y, z, w se [llx & y z & w][ll2 & 3 3 & 4]=[ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

O enunciado traz dois itens de álgebra linear:
  1. Mostrar que, se A é uma matriz triangular superior, então A^2 também é triangular superior.
  2. Determinar os escalares x,y,z,w de modo que
x & y z & w 2 & 3 3 & 4 = 1 & 0 0 & 1
Para resolver o primeiro, vamos usar a propriedade de produtos de matrizes triangulares; para o segundo, vamos reconhecer que a matriz desconhecida é a inversa da matriz 2&33&4 e calculá-la.

Passo 2

Propriedade de matrizes triangulares: se A e B são matrizes triangulares superiores de mesma ordem, então o produto AB também é triangular superior. Como A^2 = Acdot A, isto mostra que A^2 mantém zeros abaixo da diagonal principal, ou seja, continua triangular superior.

Passo 3

Chamemos
X = x & y z & w, M = 2 & 3 3 & 4,
e queremos X,M = I. Logo X = M^-1.
  1. Calcule o determinante de M:
det(M) = 2cdot4 - 3cdot3 = 8 - 9 = -1
  1. A inversa de uma 2times2 é
M^-1 = 1det(M) 4 & -3 -3 & 2 = -1cdot 4 & -3 -3 & 2 = -4 & 3 3 & -2
Portanto
x = -4, y = 3, z = 3, w = -2

Resposta

  1. A^2 é triangular superior.
  2. x=-4, y=3, z=3, w=-2.

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