Resolva y^prime prime+2 y^prime+y=e^-xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''+2y'+y=e^-xx^2+1
O conteúdo utilizado será:
– solução geral da homogênea via equação característica;
– método de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y''+2y'+y=0
e montamos a equação característica
r^2+2r+1=0 Longrightarrow (r+1)^2=0,
que tem raiz dupla r=-1. Logo a solução geral da homogênea é
yh=C1e^-x+C2,x,e^-x

Passo 3

Para a variação de parâmetros tomamos
y1=e^-x, y2=x,e^-x
O Wronskiano é
W = y1 & y2[6pt] y1' & y2' = e^-xl(e^-x-x e^-xr)-(-e^-x),(x e^-x) = e^-2x
]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1=-integral y2,fW,dx =-integral x e^-x,l(e^-x/(x^2+1)r)e^-2x,dx =-integral xx^2+1,dx =-tfrac12lnl(x^2+1r),
u2=integral y1,fW,dx =integral e^-x,l(e^-x/(x^2+1)r)e^-2x,dx =integral 1x^2+1,dx =arctan x

Passo 5

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2 =-tfrac12lnl(x^2+1r),e^-x +l(arctan xr),x,e^-x

Passo 6

Assim a solução geral da equação dada é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1e^-x+C2,x,e^-x -tfrac12e^-xlnl(x^2+1r) +x,e^-xarctan x

Resposta

boxedy(x)=C1e^-x+C2,x,e^-x -tfrac12,e^-xlnl(x^2+1r) +x,e^-xarctan x

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