Seja F(r)=varphi(r) r, onde varphi(r) é um campo escalar e r=(x, y, z), r=|r|. Temos
( ) nabla cdot F=varphi
( ) nabla cdot F=0
() nabla cdot F=1r^2 varphi+2 r cdot nabla varphi
() nabla cdot F=r cdot(nabla varphi)+3 varphi
() nabla cdot F=r cdot(nabla times(r varphi))

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(r) = varphi(r),r,
onde varphi é escalar e r=(x,y,z). Precisamos calcular a divergência nablacdotF.

Passo 2

Usamos a identidade de divergência do produto escalar–vetor:
nablacdotl(varphi,rr) = (nablavarphi)cdotr ;+;varphi,(nablacdotr)

Passo 3

Calculamos a divergência de r:
nablacdotr = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

O primeiro termo é
(nablavarphi)cdotr = rcdotnablavarphi

Passo 5

Substituindo em nablacdot(varphi,r), obtemos
nablacdotF = rcdotnablavarphi + varphicdot 3 = rcdot(nablavarphi) + 3,varphi

Passo 6

Isso coincide com a alternativa que diz
nablacdotF=rcdot(nabla varphi)+3 varphi

Resposta

A quarta alternativa: nablacdotF=rcdot(nablavarphi)+3varphi.

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