\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=3 \\\\ 2 x-y+z=2 \\\\ 3 x+y=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 3,\\\\ 2x - y + z = 2,\\\\ 3x + y \;=\;5, \end{cases}
e pede para encontrar (x,y,z). O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação e análise de dependência de equações.

Passo 2

Note que somando a primeira e a segunda equações temos
(x+2y - z) + (2x - y + z) = 3 + 2
3x + y = 5,
que é exatamente a terceira equação. Logo, há apenas duas equações independentes em três incógnitas, indicando infinitas soluções.

Passo 3

Para parametrizar as soluções, tomamos
z = t,
sendo t\in\mathbb{R} um parâmetro livre. Usamos a primeira equação para expressar x em função de y e t:
x + 2y - t = 3
x = 3 + t - 2y.

Passo 4

Substituímos x=3+t-2y e z=t na segunda equação:
2(3 + t - 2y) - y + t = 2
6 + 2t - 4y - y + t = 2
-5y + 3t +6 = 2
-5y = 2 -6 -3t = -4 -3t
y = \frac{4 + 3t}{5}.

Passo 5

Agora voltamos em x = 3 + t -2y:
x = 3 + t - 2\Bigl(\frac{4 + 3t}{5}\Bigr) = \frac{15 +5t -8 -6t}{5} = \frac{7 - t}{5}.

Passo 6

Concluímos que o sistema tem infinitas soluções, dadas por
x = \frac{7 - t}{5},\quad y = \frac{4 + 3t}{5},\quad z = t, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução geral é
\{(x,y,z) = \bigl(\tfrac{7 - t}{5},\,\tfrac{4 + 3t}{5},\,t\bigr)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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