Esboce o gráfico e determine domínio das seguintes funções:
f(x)= x+2, & se x<0 2, & se x >= 0

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x+2, &se x<0, 2, &se x>=0
Queremos determinar o domínio de f e esboçar seu gráfico. Vamos usar noções de união de intervalos para o domínio e traçar cada ramo separadamente.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos as condições de cada ramo:
  • O primeiro ramo x+2 está definido para todo x<0, ou seja no intervalo (-infty,0).
  • O segundo ramo é constante igual a 2 para todo x>=0, ou seja no intervalo [0,infty).
    Unindo esses dois intervalos, o domínio de f é
(-infty,0);cup;[0,infty)=(-infty,infty)=R

Passo 3

Agora vamos esboçar o primeiro ramo, y=x+2 para x<0.
  1. Trata-se de uma reta de inclinação 1 e intercepto em y=2 quando x=0.
  2. Como vale só para x<0, no ponto (0,2) a marcação é um círculo aberto, indicando que a reta não atinge esse ponto.
  3. Por exemplo, em x=-2 temos y=-2+2=0, e em x=-4 temos y=-2.

Passo 4

Em seguida, esboçamos o segundo ramo, que é a reta horizontal y=2 para x>=0.
  1. Essa porção começa em x=0 e vai até o infinito.
  2. No ponto (0,2) a marcação é um círculo fechado, pois a definição inclui x=0.
  3. Para x>0, a reta permanece constante em y=2.

Passo 5

Ao sobrepor os dois esboços, vemos que a linha y=x+2 sobe até atingir, de forma limite, o ponto (0,2) (aberto), e a partir daí continua como reta horizontal em y=2 (fechado em (0,2)). A função é portanto contínua em x=0, embora definida por partes.

Resposta

Domínio de f: R.
Gráfico de f:
  • Reta de inclinação 1, y=x+2, para x<0 com ponto aberto em (0,2).
  • Reta horizontal y=2 para x>=0 com ponto fechado em (0,2).

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