Esboce o gráfico e determine domínio das seguintes funções:
f(x)= 4, & se x<-1 ou x>3 x^2-2 x+1, & se -1 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 4, & se x<-1 ou x>3, x^2-2x+1, & se -1<= x<=3
Precisamos (1) determinar o domínio de f lendo onde ela está definida e (2) esboçar o gráfico: uma reta horizontal em y=4 em dois intervalos abertos e uma parábola y=(x-1)^2 no trecho fechado [-1,3].

Passo 2

Para achar o domínio, basta observar que os três trechos ( x<-1, -1<= x<=3, x>3) cobrem todos os reais. Não há nenhuma lacuna. Logo
Dom,f = (-infty,infty)

Passo 3

No ramo x<-1, f(x)=4. Isso é a reta horizontal y=4 para x<-1. Em x=-1 este ramo não inclui o ponto, então há um círculo aberto em (-1,4).

Passo 4

Para -1<= x<=3, f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2. É uma parábola com vértice em (1,0), crescendo simetricamente. Nos extremos -1 e 3 ela atinge valor
f(-1)=(-1-1)^2=4, f(3)=(3-1)^2=4,
e como o trecho é fechado, os pontos (-1,4) e (3,4) estão incluídos.

Passo 5

No ramo x>3, volta a valer f(x)=4, ou seja, de novo a reta horizontal y=4 para x>3. Em x=3 este ramo não inclui o ponto, então há um círculo aberto em (3,4).

Resposta

Domínio de f:
(-infty,infty)
Esboço do gráfico:
– Para x<-1, reta horizontal y=4 com círculo aberto em (-1,4).
– Para -1<= x<=3, a parábola y=(x-1)^2 de vértice (1,0), incluindo os pontos (-1,4) e (3,4).
– Para x>3, reta horizontal y=4 com círculo aberto em (3,4).

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