Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo y e
  • intersecções com o eixo x, se houverem.
    d) f(x) = x^2 - 3*x + 9/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a função quadrática . O que a gente vai fazer aqui é: esboçar o gráfico dessa função, encontrar a imagem e a forma canônica dela. Para isso, precisamos identificar o eixo de simetria, as coordenadas do vértice, a intersecção com o eixo e, se existir, as intersecções com o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o eixo de simetria. Em funções do tipo , o eixo de simetria é dado pela fórmula . Aqui, e . Então:
Portanto, o eixo de simetria é a reta vertical .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice está exatamente no eixo de simetria. Para achar a coordenada do vértice, substituímos na função:
Então, as coordenadas do vértice são .

Passo 4

Vamos achar a intersecção com o eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Portanto, a função intercepta o eixo no ponto .

Passo 5

Agora, vamos verificar as intersecções com o eixo , ou seja, quando . Resolvemos a equação:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Como , há uma única intersecção com o eixo , que é o próprio vértice .

Passo 6

Vamos escrever a forma canônica da função quadrática. A forma canônica é , onde é o vértice. Já encontramos que e . Então:

Resposta

A função tem eixo de simetria , vértice em , interseção com o eixo em e apenas uma interseção com o eixo em . A forma canônica da função é .

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