Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e
- intersecções com o eixo
, se houverem.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a função quadrática
. O que a gente vai fazer aqui é: esboçar o gráfico dessa função, encontrar a imagem e a forma canônica dela. Para isso, precisamos identificar o eixo de simetria, as coordenadas do vértice, a intersecção com o eixo
e, se existir, as intersecções com o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o eixo de simetria. Em funções do tipo
, o eixo de simetria é dado pela fórmula
. Aqui,
e
. Então:
Portanto, o eixo de simetria é a reta vertical
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. O vértice está exatamente no eixo de simetria. Para achar a coordenada
do vértice, substituímos
na função:
Então, as coordenadas do vértice são
.
Passo 4
Vamos achar a intersecção com o eixo
. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Portanto, a função intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos verificar as intersecções com o eixo
, ou seja, quando
. Resolvemos a equação:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Como
, há uma única intersecção com o eixo
, que é o próprio vértice
.
Passo 6
Vamos escrever a forma canônica da função quadrática. A forma canônica é
, onde
é o vértice. Já encontramos que
e
. Então:
Resposta
A função
tem eixo de simetria
, vértice em
, interseção com o eixo
em
e apenas uma interseção com o eixo
em
. A forma canônica da função é
.