Esboce o gráfico das elipses:
(c)
(c)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- É dada a equação da curva
. - O pedido é esboçar o gráfico dessa curva (isto é, desenhar a elipse correspondente).
Informações relevantes extraídas do enunciado: - Numeradores dos termos são
e . - Denominadores são
(associado a ) e (associado a ). - A equação está na forma padrão
.
Passo 2
O que significa estar na forma
— ferramenta didática:
- Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem
. -
e são os comprimentos dos semi-eixos (distâncias do centro até os extremos da elipse ao longo dos eixos coordenados). - O semi-eixo horizontal vale
. - O semi-eixo vertical vale
.
- O semi-eixo horizontal vale
- Se
a elipse é mais “alongada” verticalmente (eixo maior vertical). Se é mais alongada horizontalmente. - A elipse é simétrica em relação aos eixos
e : basta conhecer os pontos na primeira quadrante e refletir.
Passo 3
Aplicando à equação dada:
- Comparando com
, temos e . - Logo os semi-eixos são:
- semi-eixo horizontal:
, - semi-eixo vertical:
.
- semi-eixo horizontal:
- Como
, o eixo maior é vertical (a elipse é mais alta que larga).
Passo 4
Pontos importantes da elipse (úteis para o esboço):
- Centro:
. - Interceptos com o eixo
(co-vértices): . Esses são obtidos fazendo na equação. - Interceptos com o eixo
(vértices): . Esses são obtidos fazendo na equação. - Caixa envolvente (retângulo que limita a elipse): vértices do retângulo
. A elipse fica inscrita nesse retângulo. - Forma paramétrica (útil para gerar pontos):
com . - Exemplos de pontos pelo paramétrico:
-
. -
. -
. Verificação rápida: .
-
- Esses pontos ajudam a traçar a curva corretamente.
- Exemplos de pontos pelo paramétrico:
Passo 5
Cálculo dos focos e da excentricidade (informação extra útil para entender a geometria):
- Para elipse com eixo maior vertical usamos
onde é o semi-eixo maior. Aqui e . - Logo
. - Os focos estão em
. - Excentricidade:
.
Passo 6
Como esboçar à mão, passo a passo (sem precisar calculadora):
- Desenhe os eixos
e e marque o centro em . - Marque os pontos
e no eixo ; marque os pontos e no eixo . - Desenhe o retângulo de vértices
como guia — a elipse toca esse retângulo nos pontos marcados. - Ligue suavemente os quatro pontos marcados por uma curva oval simétrica, passando por
e . Garanta simetria em relação aos eixos e . - Se quiser maior precisão, calcule mais pontos pelo paramétrico (por exemplo
) e marque antes de traçar a curva.
Passo 7
Resumo do que o esboço deve mostrar graficamente (o que será visível no desenho):
- Uma elipse centrada na origem, mais alta que larga.
- Cruzando o eixo
em e o eixo em . - Focos localizados em
dentro da elipse, ao longo do eixo vertical.
Resposta
Centro:
Semi-eixo horizontal: (co-vértices em
)
Semi-eixo vertical: (vértices em
)
Focos:
Equação paramétrica:
Semi-eixo horizontal:
Semi-eixo vertical:
Focos:
Equação paramétrica: