Esboce o gráfico das elipses:
(c) \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • É dada a equação da curva \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
  • O pedido é esboçar o gráfico dessa curva (isto é, desenhar a elipse correspondente).
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numeradores dos termos são x^{2} e y^{2}.
  • Denominadores são 4 (associado a x^{2}) e 9 (associado a y^{2}).
  • A equação está na forma padrão \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 2

O que significa estar na forma \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 — ferramenta didática:
  • Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem (0,0).
  • a e b são os comprimentos dos semi-eixos (distâncias do centro até os extremos da elipse ao longo dos eixos coordenados).
    • O semi-eixo horizontal vale \,a_x=\sqrt{\text{denominador do }x^{2}}\,.
    • O semi-eixo vertical vale \,a_y=\sqrt{\text{denominador do }y^{2}}\,.
  • Se a_y>a_x a elipse é mais “alongada” verticalmente (eixo maior vertical). Se a_x>a_y é mais alongada horizontalmente.
  • A elipse é simétrica em relação aos eixos x e y: basta conhecer os pontos na primeira quadrante e refletir.

Passo 3

Aplicando à equação dada:
  • Comparando com \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, temos a_x^{2}=4 e a_y^{2}=9.
  • Logo os semi-eixos são:
    • semi-eixo horizontal: \,a_x=\sqrt{4}=2,
    • semi-eixo vertical: \,a_y=\sqrt{9}=3.
  • Como 3>2, o eixo maior é vertical (a elipse é mais alta que larga).

Passo 4

Pontos importantes da elipse (úteis para o esboço):
  • Centro: (0,0).
  • Interceptos com o eixo x (co-vértices): (\pm 2,\,0). Esses são obtidos fazendo y=0 na equação.
  • Interceptos com o eixo y (vértices): (0,\,\pm 3). Esses são obtidos fazendo x=0 na equação.
  • Caixa envolvente (retângulo que limita a elipse): vértices do retângulo (\pm 2,\pm 3). A elipse fica inscrita nesse retângulo.
  • Forma paramétrica (útil para gerar pontos): \displaystyle x=2\cos t,\quad y=3\sin t, com t\in[0,2\pi).
    • Exemplos de pontos pelo paramétrico:
      • t=0:\;(2,0).
      • t=\tfrac{\pi}{2}:\;(0,3).
      • t=\tfrac{\pi}{4}:\;\bigl(\sqrt{2},\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr). Verificação rápida: \displaystyle \frac{(\sqrt{2})^{2}}{4}+\frac{\bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr)^{2}}{9}=\frac{2}{4}+\frac{(9\cdot2)/4}{9}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
    • Esses pontos ajudam a traçar a curva corretamente.

Passo 5

Cálculo dos focos e da excentricidade (informação extra útil para entender a geometria):
  • Para elipse com eixo maior vertical usamos c^{2}=b^{2}-a^{2} onde b é o semi-eixo maior. Aqui b=3 e a=2.
  • Logo \displaystyle c=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}.
  • Os focos estão em (0,\pm \sqrt{5}).
  • Excentricidade: \displaystyle e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745.

Passo 6

Como esboçar à mão, passo a passo (sem precisar calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o centro em (0,0).
  2. Marque os pontos (2,0) e (-2,0) no eixo x; marque os pontos (0,3) e (0,-3) no eixo y.
  3. Desenhe o retângulo de vértices (\pm2,\pm3) como guia — a elipse toca esse retângulo nos pontos marcados.
  4. Ligue suavemente os quatro pontos marcados por uma curva oval simétrica, passando por (\pm2,0) e (0,\pm3). Garanta simetria em relação aos eixos x e y.
  5. Se quiser maior precisão, calcule mais pontos pelo paramétrico (por exemplo t=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}) e marque antes de traçar a curva.

Passo 7

Resumo do que o esboço deve mostrar graficamente (o que será visível no desenho):
  • Uma elipse centrada na origem, mais alta que larga.
  • Cruzando o eixo x em (\pm2,0) e o eixo y em (0,\pm3).
  • Focos localizados em (0,\pm\sqrt{5}) dentro da elipse, ao longo do eixo vertical.

Resposta

Centro: (0,0)
Semi-eixo horizontal: 2 (co-vértices em (\pm2,0))
Semi-eixo vertical: 3 (vértices em (0,\pm3))
Focos: (0,\pm\sqrt{5})
Equação paramétrica: \displaystyle x=2\cos t,\; y=3\sin t,\; t\in[0,2\pi)

Exercícios relacionados