Esboce o gráfico das elipses:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da elipse dada pela equação
Informações fornecidas explicitamente pela equação:
- O centro está implícito na equação.
- Há denominadores sob
e : e . - A equação está escrita na forma padrão de uma elipse centrada na origem.
O que preciso entregar (passo a passo): identificar os pontos importantes (centro, vértices, co-vértices, focos), indicar como traçar a elipse à mão (retângulo auxiliar, pontos de amostra) e dar uma descrição suficiente para desenhar o esboço.
Passo 2
Interpretação da forma padrão e identificação dos parâmetros básicos.
Forma padrão de uma elipse centrada na origem (relembrando passo a passo):
Se a elipse tem semi-eixos e
alinhados com os eixos coordenados, a forma é
Se a elipse tem semi-eixos
Aqui cada variável significa:
-
e são as coordenadas no plano. -
é o semi-eixo no sentido horizontal quando está embaixo de . -
é o semi-eixo no sentido vertical quando está embaixo de .
Comparando com a equação dada:
vemos que
Como
, o semi-eixo maior está no sentido
(horizontal). O centro é
.
Passo 3
Encontrar vértices, co-vértices e interceptos — pontos-chave para o esboço.
Vértices (maior eixo, horizontais): colocam
na equação e resolvem para
:
Logo os vértices são
e
.
Co-vértices (menor eixo, verticais): colocam
e resolvem para
:
Logo os co-vértices são
e
.
Interceptos com os eixos estão incluídos nesses pontos: intercepto em
em
e em
em
.
Passo 4
Calcular os focos e a excentricidade (úteis para entender a “achatamento” da elipse).
Para elipse centrada na origem com eixo maior em
vale a relação
onde
é a distância do centro a cada foco. Substituindo:
Os focos ficam em
, isto é:
A excentricidade é
o que indica uma elipse relativamente alongada no eixo
(quanto mais próximo de
, mais alongada).
Passo 5
Forma paramétrica e pontos adicionais para ajudar no esboço.
Uma forma prática para obter pontos da elipse é usar a parametrização
Aqui, para
e
:
Pontos básicos que saem facilmente dessa parametrização:
-
(vértice direito). -
(vértice superior). -
(vértice esquerdo). -
(vértice inferior).
Um ponto diagonal, por exemplo:
Esse ponto
ajuda a formar a curvatura entre vértice e co-vértice.
Passo 6
Procedimento prático para esboçar à mão (passo a passo curto e claro).
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala (por exemplo, cada unidade = 1 cm). - Marque o centro em
. - Marque os vértices
e e os co-vértices e . - Desenhe o retângulo auxiliar com cantos em
— as diagonais desse retângulo ajudam a posicionar pontos. - Trace a curva elíptica suave que toca os lados médios do retângulo nos vértices e co-vértices; use os pontos paramétricos (como
) para guiar a curvatura. - Opcional: marque os focos em
e, se quiser, escreva a excentricidade .
Dica de visualização rápida: a elipse cabe exatamente dentro do retângulo de largura
e altura
.
Passo 7
Propriedade extra (útil para prova ou para entender área): área da elipse.
A área de uma elipse é dada por
Aqui
Resposta
Centro:
Vértices: e
Co-vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
Área:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Área: