Esboce o gráfico das elipses:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da elipse dada pela equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1.
Informações fornecidas explicitamente pela equação:
  • O centro está implícito na equação.
  • Há denominadores sob x^{2} e y^{2}: 4 e 1.
  • A equação está escrita na forma padrão de uma elipse centrada na origem.
O que preciso entregar (passo a passo): identificar os pontos importantes (centro, vértices, co-vértices, focos), indicar como traçar a elipse à mão (retângulo auxiliar, pontos de amostra) e dar uma descrição suficiente para desenhar o esboço.

Passo 2

Interpretação da forma padrão e identificação dos parâmetros básicos.
Forma padrão de uma elipse centrada na origem (relembrando passo a passo):
Se a elipse tem semi-eixos a e b alinhados com os eixos coordenados, a forma é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui cada variável significa:
  • x e y são as coordenadas no plano.
  • a é o semi-eixo no sentido horizontal quando a^{2} está embaixo de x^{2}.
  • b é o semi-eixo no sentido vertical quando b^{2} está embaixo de y^{2}.
Comparando com a equação dada:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1
vemos que
a^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad a=2, \qquad b^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad b=1.
Como a>b, o semi-eixo maior está no sentido x (horizontal). O centro é (0,0).

Passo 3

Encontrar vértices, co-vértices e interceptos — pontos-chave para o esboço.
Vértices (maior eixo, horizontais): colocam y=0 na equação e resolvem para x:
\frac{x^{2}}{4}=1 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow x=\pm 2.
Logo os vértices são (2,0) e (-2,0).
Co-vértices (menor eixo, verticais): colocam x=0 e resolvem para y:
\frac{y^{2}}{1}=1 \Rightarrow y^{2}=1 \Rightarrow y=\pm 1.
Logo os co-vértices são (0,1) e (0,-1).
Interceptos com os eixos estão incluídos nesses pontos: intercepto em x em (\pm 2,0) e em y em (0,\pm 1).

Passo 4

Calcular os focos e a excentricidade (úteis para entender a “achatamento” da elipse).
Para elipse centrada na origem com eixo maior em x vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
onde c é a distância do centro a cada foco. Substituindo:
c^{2}=4-1=3 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{3}\approx 1,732.
Os focos ficam em (\pm c,0), isto é:
(\sqrt{3},0)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{3},0).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866,
o que indica uma elipse relativamente alongada no eixo x (quanto mais próximo de 1, mais alongada).

Passo 5

Forma paramétrica e pontos adicionais para ajudar no esboço.
Uma forma prática para obter pontos da elipse é usar a parametrização
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Aqui, para a=2 e b=1:
x=2\cos t,\qquad y=\sin t.
Pontos básicos que saem facilmente dessa parametrização:
  • t=0\Rightarrow (2,0) (vértice direito).
  • t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (0,1) (vértice superior).
  • t=\pi\Rightarrow (-2,0) (vértice esquerdo).
  • t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow (0,-1) (vértice inferior).
    Um ponto diagonal, por exemplo t=\tfrac{\pi}{4}:
x=2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx1,414, \qquad y=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707.
Esse ponto \left(\sqrt{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) ajuda a formar a curvatura entre vértice e co-vértice.

Passo 6

Procedimento prático para esboçar à mão (passo a passo curto e claro).
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (por exemplo, cada unidade = 1 cm).
  2. Marque o centro em (0,0).
  3. Marque os vértices (2,0) e (-2,0) e os co-vértices (0,1) e (0,-1).
  4. Desenhe o retângulo auxiliar com cantos em (\pm 2,\pm 1) — as diagonais desse retângulo ajudam a posicionar pontos.
  5. Trace a curva elíptica suave que toca os lados médios do retângulo nos vértices e co-vértices; use os pontos paramétricos (como \left(\sqrt{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)) para guiar a curvatura.
  6. Opcional: marque os focos em (\pm\sqrt{3},0) e, se quiser, escreva a excentricidade e=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Dica de visualização rápida: a elipse cabe exatamente dentro do retângulo de largura 2a=4 e altura 2b=2.

Passo 7

Propriedade extra (útil para prova ou para entender área): área da elipse.
A área de uma elipse é dada por
\text{Área}=\pi a b.Á
Aqui
\text{Área}=\pi\cdot 2\cdot 1=2\pi.Á

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: (2,0) e (-2,0)
Co-vértices: (0,1) e (0,-1)
Focos: (\sqrt{3},0) e (-\sqrt{3},0)
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Área: 2\pi

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