Esboce o gráfico das elipses:
8 x^{2}+9 y^{2}=72

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da elipse dada pela equação
8x^{2}+9y^{2}=72.
Informações fornecidas (exatamente o que vem no enunciado):
  • A equação da curva é \,8x^{2}+9y^{2}=72.
  • A tarefa é esboçar (desenhar aproximadamente) o gráfico dessa elipse.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma elipse centrada na origem. Para isso divido os dois lados por 72:
\frac{8x^{2}}{72}+\frac{9y^{2}}{72}=1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1.
Esta é a forma padrão de uma elipse alinhada com os eixos coordenados.

Passo 3

Explicar a forma padrão e o significado dos parâmetros. A forma geral padrão de uma elipse centrada na origem e com eixos alinhados é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • \,a é o semi-eixo ao longo do eixo x se a^{2} for o denominador sob x^{2};
  • \,b é o semi-eixo ao longo do eixo y se b^{2} for o denominador sob y^{2}.
    No nosso caso identificamos:
a^{2}=9,\qquad b^{2}=8.
Logo
a=3,\qquad b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2{,}828.
Como a>b, o eixo maior é horizontal (ao longo do eixo x).

Passo 4

Calcular os vértices e co-vértices (pontos extremos da elipse).
  • Vértices (extremos do eixo maior) ficam em (\pm a,0), portanto:
(\pm 3,\,0).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor) ficam em (0,\pm b), portanto:
\bigl(0,\pm 2\sqrt{2}\bigr).

Passo 5

Calcular os focos da elipse e a excentricidade. Para elipse com eixo maior no x-axis vale
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Substituindo:
c^{2}=9-8=1\quad\Rightarrow\quad c=1.
Os focos ficam em (\pm c,0), ou seja:
(\pm 1,\,0).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\approx0{,}333,
o que indica quão “achatada” é a elipse (quanto menor e, mais próxima de um círculo).

Passo 6

Determinar comprimentos dos eixos e retângulo guia. Comprimentos:
\text{eixo maior}=2a=6,\qquad \text{eixo menor}=2b=4\sqrt{2}\approx5{,}657.
O retângulo guia (ou caixa) que ajuda no esboço tem cantos em (\pm a,\pm b), isto é:
(\pm 3,\pm 2\sqrt{2}).

Passo 7

Instruções práticas para esboçar (passo a passo no papel, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o centro na origem (0,0).
  2. Marque os vértices em (3,0) e (-3,0).
  3. Marque os co-vértices em (0,2\sqrt{2}) e (0,-2\sqrt{2}).
  4. Trace o retângulo com cantos em (\pm3,\pm2\sqrt{2}); a elipse tocará os lados médios desse retângulo.
  5. Desenhe uma curva suave passando por (3,0), (0,2\sqrt{2}), (-3,0), (0,-2\sqrt{2}) formando uma forma oval simétrica.
  6. Opcional: marque os focos em (1,0) e (-1,0) dentro da elipse.
Dica amigável: pense na elipse como um “círculo esticado” mais para a direita/esquerda; use o retângulo guia para manter a simetria.

Passo 8

Verificação rápida: se quiser checar um ponto, substitua na equação original. Por exemplo, o ponto (3,0):
8(3)^{2}+9(0)^{2}=8\cdot9+0=72,
confere. Para (0,2\sqrt{2}):
8(0)^{2}+9\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^{2}=0+9\cdot8=72,
confere também. Isso confirma que os pontos extremos foram calculados corretamente.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1
Semi-eixos: \,a=3,\;b=2\sqrt{2}.
Vértices: (\pm 3,\,0).
Co-vértices: \bigl(0,\pm 2\sqrt{2}\bigr).
Focos: (\pm 1,\,0).
Excentricidade: e=\dfrac{1}{3}.

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