Esboce o gráfico das elipses:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da elipse dada pela equação
Informações fornecidas (exatamente o que vem no enunciado):
- A equação da curva é
. - A tarefa é esboçar (desenhar aproximadamente) o gráfico dessa elipse.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma elipse centrada na origem. Para isso divido os dois lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Esta é a forma padrão de uma elipse alinhada com os eixos coordenados.
Passo 3
Explicar a forma padrão e o significado dos parâmetros. A forma geral padrão de uma elipse centrada na origem e com eixos alinhados é
onde:
-
é o semi-eixo ao longo do eixo se for o denominador sob ; -
é o semi-eixo ao longo do eixo se for o denominador sob .
No nosso caso identificamos:
Logo
Como
, o eixo maior é horizontal (ao longo do eixo
).
Passo 4
Calcular os vértices e co-vértices (pontos extremos da elipse).
- Vértices (extremos do eixo maior) ficam em
, portanto:
- Co-vértices (extremos do eixo menor) ficam em
, portanto:
Passo 5
Calcular os focos da elipse e a excentricidade. Para elipse com eixo maior no
-axis vale
Substituindo:
Os focos ficam em
, ou seja:
A excentricidade é
o que indica quão “achatada” é a elipse (quanto menor
, mais próxima de um círculo).
Passo 6
Determinar comprimentos dos eixos e retângulo guia. Comprimentos:
O retângulo guia (ou caixa) que ajuda no esboço tem cantos em
, isto é:
Passo 7
Instruções práticas para esboçar (passo a passo no papel, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e e marque o centro na origem . - Marque os vértices em
e . - Marque os co-vértices em
e . - Trace o retângulo com cantos em
; a elipse tocará os lados médios desse retângulo. - Desenhe uma curva suave passando por
, , , formando uma forma oval simétrica. - Opcional: marque os focos em
e dentro da elipse.
Dica amigável: pense na elipse como um “círculo esticado” mais para a direita/esquerda; use o retângulo guia para manter a simetria.
Passo 8
Verificação rápida: se quiser checar um ponto, substitua na equação original. Por exemplo, o ponto
:
confere. Para
:
confere também. Isso confirma que os pontos extremos foram calculados corretamente.
Resposta
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade: