Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da seguinte função periódica y(t)=cos (2 pi t)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico e a série de Fourier da função periódica
y(t)=cosl(2pi tr)
Estamos em Conteúdo de Séries de Fourier para funções de período T. Para resolver, vamos:
  1. Identificar o período fundamental T e a frequência angular fundamental omega0.
  2. Esboçar o gráfico no intervalo de um período.
  3. Calcular os coeficientes a0, an e bn pela definição usando integrais.
  4. Montar a série de Fourier em forma real.

Passo 2

Período fundamental e esboço do gráfico
— Período T: como o argumento é 2pi t, temos
T = 1
— Frequência angular fundamental:
omega0 = 2piT = 2pi
Esboço em 0<= t<=1: uma curva cosseno de amplitude 1, que em t=0 vale 1, atinge -1 em t=0,5 e retorna a 1 em t=1.

Passo 3

Cálculo de a0
a0 = 1Tintegral0^T cos(2pi t),dt = integral0^1 cos(2pi t),dt
Como cos(2pi t) é função completa de um período em [0,1],
integral0^1 cos(2pi t),dt = 0 Longrightarrow a0 = 0

Passo 4

Cálculo de an para n>=1
an = 2Tintegral0^T cos(2pi t),cos(2pi n t),dt = 2integral0^1 cos(2pi t),cos(2pi n t),dt
Usando ortogonalidade das cossenos:
integral0^1 cos(2pi t),cos(2pi n t),dt = tfrac12, & n=1, 0, & nneq1
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an = 1, & n=1, 0, & nneq1

Passo 5

Cálculo de bn para n>=1
bn = 2Tintegral0^T cos(2pi t),sin(2pi n t),dt = 2integral0^1 cos(2pi t),sin(2pi n t),dt
Pela ortogonalidade cosseno–seno, cada integral é zero, para todo n:
bn = 0forall n>=1

Passo 6

Montagem da série de Fourier real
A forma padrão é
y(t) = a02 + sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r]
Substituindo os coeficientes:
y(t) = 0 + 1cdotcos(1cdot2pi t) + sumn=2^infty0cdotcos(2pi n t) + sumn=1^infty0cdotsin(2pi n t),
ou seja
y(t)=cos(2pi t)

Resposta

O gráfico é um cosseno de amplitude 1 e período 1.
A série de Fourier real tem
a0=0, a1=1, an=0 (nneq1), bn=0 forall n,
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boxedy(t)=cos(2pi t)

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