Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da seguinte função periódica
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico e a série de Fourier da função periódica
Estamos em Conteúdo de Séries de Fourier para funções de período
. Para resolver, vamos:
- Identificar o período fundamental
e a frequência angular fundamental . - Esboçar o gráfico no intervalo de um período.
- Calcular os coeficientes
, e pela definição usando integrais. - Montar a série de Fourier em forma real.
Passo 2
Período fundamental e esboço do gráfico
— Período : como o argumento é
, temos
— Período
— Frequência angular fundamental:
Esboço em
: uma curva cosseno de amplitude
, que em
vale
, atinge
em
e retorna a
em
.
Passo 3
Cálculo de
Como
é função completa de um período em
,
Passo 4
Cálculo de
para
Usando ortogonalidade das cossenos:
Logo
Passo 5
Cálculo de
bn para
n>=1
Pela ortogonalidade cosseno–seno, cada integral é zero, para todo
n :
Passo 6
Montagem da série de Fourier real
A forma padrão é
A forma padrão é
Substituindo os coeficientes:
ou seja
Resposta
O gráfico é um cosseno de amplitude
1 e período
1 .
A série de Fourier real tem
A série de Fourier real tem
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