Resolva as EDOs homogêneas.
(a) (x-y) dx + x dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
(x - y),dx + x,dy = 0
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem homogêneas. Vamos usar a substituição y = v x.

Passo 2

Reescrevemos em forma explícita de derivada:
dydx = -x - yx = -l(1 - yxr)
Observamos que o membro direito depende apenas da razão y/x, caracterizando uma EDO homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição v = y/x, então y = v x e
dydx = v + xdvdx

Passo 4

Substituindo em dydx = -(1 - v) temos
v + xdvdx = v - 1
e isolando dv/dx obtemos
xdvdx = -1 Longrightarrow dvdx = -1x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dv = - integral dxx Longrightarrow v = -lnlvert xrvert + C

Passo 6

Voltando à variável original com v = y/x, obtemos
yx = C - lnlvert xrvert Longrightarrow y = Cx - xlnlvert xrvert

Resposta

y = Cx - xlnlvert xrvert,
onde C é a constante de integração.

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