Utilize o teste da raiz, para determinar qual das seguintes séries, converge ou diverge:
sumn=1^infty(1+1n)^n^2

Passo 1

Estou com a série sumn=1^infty(1 + 1n)^n^2. O conteúdo é o teste da raiz, que usa o limite da enésima raiz do termo geral para decidir convergência ou divergência. Vamos precisar calcular limntoinftyraiz[n]an e usar o critério do teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an real, se L=limsupntoinftyraiz[n]|an| satisfaz: se L<1 a série converge, se L>1 ela diverge, e se L=1 não concluímos nada.

Passo 3

Aqui o termo geral é an = (1 + 1n)^n^2. Então calculamos a enésima raiz do termo geral:
raiz[n]an = [(1 + 1n)^n^2]^1/n = (1 + 1n)^n

Passo 4

Agora precisamos encontrar o limite desse resultado quando ntoinfty. É um limite clássico:
limntoinfty (1 + 1n)^n = e

Passo 5

Como o valor L = e obtido é maior que 1, o teste da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite da enésima raiz do termo geral é e>1.

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