Esboce o gráfico das equações a seguir:
x^24-y^29=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: a gente precisa desenhar o gráfico da equação x^24 - y^29 = 1. Isso tá relacionado com o estudo das cônicas, especificamente as hiperboles. Pra resolver, a gente vai precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole, encontrar seus pontos principais e desenhar os assimptotas.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa equação está na forma padrão da hipérbole horizontal, que é (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1. Aqui, h e k são as coordenadas do centro da hipérbole, a é a distância do centro até os vértices na direção do eixo x, e b está relacionado às assimptotas.
No nosso caso, não temos termos de h e k, então o centro está na origem (0,0). Temos a^2 = 4 e b^2 = 9, o que significa que a = 2 e b = 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole é horizontal, os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo x. Então, os vértices são:
(0 + a, 0) = (2, 0) e (0 - a, 0) = (-2, 0)

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que passam pelo centro e têm inclinação pm ba. Então, as equações das assíntotas são:
y = bax = 32x e y = -32x

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos:
  1. Marcar o centro na origem (0,0).
  2. Plotar os vértices em (2,0) e (-2,0).
  3. Desenhar as assíntotas y = 32x e y = -32x.
  4. Desenhar os ramos da hipérbole abrindo para os lados, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

O gráfico da equação x^24 - y^29 = 1 é uma hipérbole com centro na origem (0,0), vértices em (2,0) e (-2,0), e assimptotas dadas por y = 32x e y = -32x. Os ramos da hipérbole abrem horizontalmente, aproximando-se das assíntotas conforme se afastam do centro.

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