Esboce o gráfico das equações a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: a gente precisa desenhar o gráfico da equação
. Isso tá relacionado com o estudo das cônicas, especificamente as hiperboles. Pra resolver, a gente vai precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole, encontrar seus pontos principais e desenhar os assimptotas.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa equação está na forma padrão da hipérbole horizontal, que é
. Aqui,
e
são as coordenadas do centro da hipérbole,
é a distância do centro até os vértices na direção do eixo x, e
está relacionado às assimptotas.
No nosso caso, não temos termos de
e
, então o centro está na origem
. Temos
e
, o que significa que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole é horizontal, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo x. Então, os vértices são:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que passam pelo centro e têm inclinação
. Então, as equações das assíntotas são:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos:
- Marcar o centro na origem
. - Plotar os vértices em
e . - Desenhar as assíntotas
e . - Desenhar os ramos da hipérbole abrindo para os lados, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
O gráfico da equação
é uma hipérbole com centro na origem
, vértices em
e
, e assimptotas dadas por
e
. Os ramos da hipérbole abrem horizontalmente, aproximando-se das assíntotas conforme se afastam do centro.