Esboce o gráfico da função
f(x)=xraiz4-x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=xraiz4-x
Isso envolve achar domínio, limites nas extremidades, assíntotas, monotonicidade e pontos de referência para, a partir daí, desenhar a curva.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como há raiz4-x no denominador, precisamos de
4 - x >= 0 e raiz4-xneq 0
Isso leva a
x <= 4 e x neq 4,
ou seja, o domínio é
(-infty,4)

Passo 3

Analisar os limites nas fronteiras do domínio para identificar comportamentos extremos e assíntotas.
Para xto -infty:
limxto -inftyf(x) =limxto -inftyxraiz4-x =limxto -inftyxraiz-x,raiz1-4/x =-infty
Para xto 4^-:
limxto 4^-f(x) =40^+ =+infty
Logo, há uma assíntota vertical na reta
x=4

Passo 4

Estudar a monotonicidade via a derivada. Escrevendo
f(x)=x,(4-x)^-tfrac12,
temos
f'(x) =(4-x)^-tfrac12 +;xcdotl(-tfrac12r)(4-x)^-tfrac32(-1) =8-x2(4-x)^3/2
No domínio x<4, o denominador é positivo e 8-x>0. Portanto
f'(x)>0
em todo (-infty,4), isto é, f é estritamente crescente.

Passo 5

Obter intercepto e alguns pontos de apoio.
  • Intercepto em y: f(0)=0, ponto (0,0).
  • Para x=3:
f(3)=3raiz1=3,
ponto (3,3).
  • Alguns valores negativos: por exemplo f(-1)=-1/raiz5approx -0,45.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Domínio (-infty,4).
  • limxto -inftyf(x)=-infty (vai lá embaixo).
  • Crescente, cruza a origem e atinge (3,3).
  • limxto 4^-f(x)=+infty (puxa para cima perto de x=4).
  • Assíntota vertical x=4.
Desenhe eixos, trace a reta x=4 pontilhada. Depois esboce uma curva que sai de -infty (esquerda), sobe atravessando (0,0), passa em (3,3) e dispara para +infty ao se aproximar de x=4.

Resposta

O gráfico é uma curva definida em (-infty,4), estritamente crescente, que passa por (0,0), tende a -infty quando xto -infty e a +infty quando xto4^-, com assíntota vertical x=4.

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