Imagine que a firma é multiproduto de modo que Q1=4 K^3/4 L^1/4; Q2=K^1/12 L^1/2. Compute a matriz jacobiana. Considerando a mesma cesta de insumos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma firma que produz dois produtos diferentes, com as funções de produção dadas por:
Q1 = 4 K^34 L^14
Q2 = K^112 L^12
O que precisamos fazer é calcular a matriz jacobiana dessas funções de produção. Para isso, vamos precisar entender o que é a matriz jacobiana e como calculá-la para funções que dependem de múltiplas variáveis, nesse caso, os insumos K e L.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Ela é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções em questão em relação às variáveis de entrada. No nosso caso, temos duas funções (Q1 e Q2) e duas variáveis (K e L), então a matriz jacobiana será uma matriz 2x2.

Passo 3

Vamos nomear as funções para facilitar:
f(K, L) = Q1 = 4 K^34 L^14
g(K, L) = Q2 = K^112 L^12
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada função em relação a K e L.

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ f(K, L) $:
f(K, L)
partial fpartial K = 4 times 34 K^34 - 1 L^14 = 3 K^-14 L^14

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas parciais de $ g(K, L) $:
g(K, L)
partial gpartial K = 112 K^112 - 1 L^12 = 112 K^-1112 L^12

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar a matriz jacobiana. A matriz jacobiana $ J $ é organizada da seguinte forma:
J
Substituindo as derivadas que calculamos:
J = partial fpartial K & partial fpartial L partial gpartial K & partial gpartial L

Resposta

A matriz jacobiana das funções de produção $ Q1 $ e $ Q2 $ é:
Q1

Exercícios relacionados