Imagine que a firma é multiproduto de modo que
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. Compute a matriz jacobiana. Considerando a mesma cesta de insumos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma firma que produz dois produtos diferentes, com as funções de produção dadas por:
O que precisamos fazer é calcular a matriz jacobiana dessas funções de produção. Para isso, vamos precisar entender o que é a matriz jacobiana e como calculá-la para funções que dependem de múltiplas variáveis, nesse caso, os insumos K e L.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Ela é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções em questão em relação às variáveis de entrada. No nosso caso, temos duas funções (Q1 e Q2) e duas variáveis (K e L), então a matriz jacobiana será uma matriz 2x2.
Passo 3
Vamos nomear as funções para facilitar:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada função em relação a K e L.
Passo 4
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ f(K, L) $:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas parciais de $ g(K, L) $:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar a matriz jacobiana. A matriz jacobiana $ J $ é organizada da seguinte forma:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
A matriz jacobiana das funções de produção $ Q1 $ e $ Q2 $ é: