Esboce o gráfico de f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x) :
© f(x)=llx^2-x, & x >= 0 -x, & x<0 (a=0)

Passo 1

O enunciado apresenta a função definida por partes: f(x)=x^2 - x se x>= 0 e f(x)=-x se x<0. Vamos esboçar o gráfico e calcular as limites laterais em a=0, usando a definição de limite e técnicas de esboço de curvas.

Passo 2

Para x<0 temos o ramo f(x)=-x, que é uma reta de declive -1 passando pela origem. Como esse ramo não inclui x=0, o ponto em (0,0) fica representado por um círculo aberto.
Para x>=0 temos o ramo f(x)=x^2 - x, que é uma parábola voltada para cima com raízes em x=0 e x=1. Em x=0 o valor é f(0)=0, então colocamos um ponto fechado em (0,0).

Passo 3

Calculamos a limíte lateral à esquerda em 0: limxto0^-f(x). Como para x<0 vale f(x)=-x, ao aproximar x de 0 pelo lado negativo obtemos -0=0.
Calculamos a limíte lateral à direita em 0: limxto0^+f(x). Como para x>=0 vale f(x)=x^2 - x, ao aproximar x de 0 pelo lado positivo obtemos 0^2-0=0.

Passo 4

Como as duas limites laterais coincidem em 0, concluímos que limxto0f(x) existe e vale 0.

Resposta

limx0^-f(x)=0, limx0^+f(x)=0 e limx0f(x)=0.

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