Esboce o gráfico de:
f(x)=\cos (3 x) ; x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\cos(3x),\quad x\in\Bigl[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\Bigr].
Para desenhar o gráfico, vamos usar as propriedades básicas da função cosseno: amplitude (aqui sempre 1), período e comportamento (cresce ou decresce) em intervalos de comprimento adequados.

Passo 2

Vamos achar o período de \cos(3x). Se a função fosse \cos x, o período é 2\pi. Com o “3” multiplicando x, o período encolhe para
T = \frac{2\pi}{3}.
O nosso domínio é de comprimento
\frac{\pi}{6} - \bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\pi}{3},
ou seja, exatamente metade de T. Portanto, à medida que x vai de -\tfrac{\pi}{6} a \tfrac{\pi}{6}, o argumento 3x vai de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}, completando meia oscilação de cosseno.

Passo 3

Identificamos os pontos-chave fazendo
3x = -\tfrac{\pi}{2},\;0,\;\tfrac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{\pi}{6},\;0,\;\tfrac{\pi}{6}.
Calculamos f nesses pontos:
f\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0, \qquad f(0)=\cos(0)=1, \qquad f\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Para ver onde cresce ou decresce, usamos a derivada
f'(x) = -3\sin(3x).
No intervalo -\tfrac{\pi}{6}<x<0, temos 3x\in(-\tfrac{\pi}{2},0) e portanto \sin(3x)<0, logo -3\sin(3x)>0: ali o gráfico sobe de 0 até 1.
No intervalo 0<x<\tfrac{\pi}{6}, temos 3x\in(0,\tfrac{\pi}{2}) e então \sin(3x)>0, logo f'(x)<0: ali o gráfico desce de 1 de volta a 0.

Passo 5

Com esses dados, o esboço é uma “curva em arco” que parte de \bigl(-\tfrac{\pi}{6},0\bigr), sobe suavemente até (0,1) e desce suavemente até \bigl(\tfrac{\pi}{6},0\bigr). O eixo x deve ser marcado em -\tfrac{\pi}{6}, 0 e \tfrac{\pi}{6}; o eixo y em 0 e 1. A forma é a metade de uma oscilação de cosseno.

Resposta

O gráfico de \cos(3x) em \bigl[-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\bigr] é uma curva que começa em \bigl(-\tfrac{\pi}{6},0\bigr), atinge o máximo (0,1) e volta a 0 em \bigl(\tfrac{\pi}{6},0\bigr), formando um “arco” correspondente a meia oscilação de cosseno.

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