Questão 3: Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right) \operatorname{arctg} x};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{(1+x^2)\,\operatorname{arctg} x}.
O conteúdo principal é técnica de substituição em integrais, reconhecendo um dt/t.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \operatorname{arctg} x,
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dt = \frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\frac{dx}{(1+x^2)\,\operatorname{arctg} x} = \frac{dt}{t},
portanto
\int \frac{dx}{(1+x^2)\,\operatorname{arctg} x} = \int \frac{dt}{t} = \ln\bigl|t\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, com t=\operatorname{arctg} x, obtemos
\ln\bigl|\operatorname{arctg} x\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{dx}{(1+x^2)\,\operatorname{arctg} x} = \ln\bigl|\operatorname{arctg} x\bigr| + C.

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