Esboce o gráfico de:
f(x)=2 \sin (4 x) ; x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2\sin(4x),\quad x\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
O conteúdo aqui é traçar o gráfico de uma função trigonométrica: precisamos encontrar amplitude, período e pontos--chave (zeros, máximos e mínimos) para esboçar a curva.

Passo 2

A amplitude de \sin multiplicada por 2 é
\text{amplitude}=\lvert 2\rvert=2.
O período de \sin(4x) é dado por
\text{período}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.í
Repare que o domínio \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] equivale a exatamente um período completo.

Passo 3

Em um ciclo de seno, os pontos--chave ocorrem a cada um quarto de período. Como o período é \tfrac{\pi}{2}, cada quarto de período vale
\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}.
Logo, tomamos x_k = k\frac{\pi}{8} para k=0,1,2,3,4.

Passo 4

Calculamos f(x_k)=2\sin\bigl(4x_k\bigr):
\begin{aligned} x_0&=0,\quad &f(0)&=2\sin(0)=0,\\\ x_1&=\tfrac{\pi}{8},\quad &f\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)&=2\sin\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{8}\bigr)=2\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2,\\\ x_2&=\tfrac{\pi}{4},\quad &f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)&=2\sin(\pi)=0,\\\ x_3&=\tfrac{3\pi}{8},\quad &f\bigl(\tfrac{3\pi}{8}\bigr)&=2\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-2,\\\ x_4&=\tfrac{\pi}{2},\quad &f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=2\sin(2\pi)=0. \end{aligned}

Passo 5

Agora basta ligar esses pontos suavemente, sabendo que entre eles a curva segue o formato clássico de seno:
  • De (0,0) a \bigl(\tfrac{\pi}{8},2\bigr) a função cresce de forma côncava.
  • De \bigl(\tfrac{\pi}{8},2\bigr) a \bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr) decresce, cruzando o eixo.
  • De \bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr) a \bigl(\tfrac{3\pi}{8},-2\bigr) continua decrescendo até o mínimo.
  • De \bigl(\tfrac{3\pi}{8},-2\bigr) a \bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr) sobe de volta ao eixo.
Esse traçado completa exatamente um ciclo de seno comprimido horizontalmente por fator 4.

Resposta

O gráfico de f(x)=2\sin(4x) em \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr] é uma senoide de amplitude 2 e período \tfrac{\pi}{2}, passando pelos pontos
(0,0),\;\bigl(\tfrac{\pi}{8},2\bigr),\;\bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr),\;\bigl(\tfrac{3\pi}{8},-2\bigr),\;\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr),
conectados suavemente.

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