Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar (desenhar) o gráfico da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras restrições; espera-se um esboço claro do gráfico com pontos importantes marcados.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto de um jeito simples e prático.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
Isso significa que o valor absoluto transforma um número em seu equivalente não negativo: se
é negativo, troca de sinal.
No nosso caso a expressão dentro do valor absoluto é
. Vamos aplicar a definição do valor absoluto a
.]
Passo 3
Passo direto: escrever [f(x)) em forma peça a peça (piecewise), que é a forma que facilita desenhar.
Quando
, isto é,
, temos
.
Quando , isto é,
, temos
.
Quando
Portanto
(Repare que em
, então a função é contínua aí.)]
Passo 4
Interpretando geometricamente: transformar o gráfico de
.
O gráfico de
é um “V” com vértice em
, ramo esquerdo com inclinação
e ramo direito com inclinação
.
A função
é obtida a partir de
por:
- translação horizontal para a direita em
unidades (por causa do ), - translação vertical para cima em
unidades (por causa do ).
Logo o vértice do “V” será deslocado de
para
.
Passo 5
Identificar as retas que formam o “V” e suas inclinações.
Da forma peça a peça obtida:
- Para
: . Isso é uma reta de inclinação (coeficiente angular ) e intercepto - quando vale . - Para
: . Isso é uma reta de inclinação e intercepto - quando vale para essa expressão, mas atenção: essa expressão só vale para ; o valor real em vem da outra peça.
No ponto de união
ambas as retas dão
, que é o mínimo da função.
Passo 6
Calcular pontos-chave para marcar no esboço (faz tudo sem calculadora).
Vértice:
logo vértice em
.
Intercepto em
(quando
):
logo ponto
está no gráfico (usado pela peça
porque
).
Alguns pontos simétricos em torno de
:
Não há raiz (valor
) pois
para todo
.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (para a prova, rápido e seguro):
- Desenhe eixos
e . - Marque o vértice
. - Marque o ponto
e, se quiser simetria, também (pois por inclinação simétrica). - Trace a reta que passa por
e por ; essa é a parte esquerda (extenda para a esquerda). - Trace a reta que passa por
e por ; essa é a parte direita (extenda para a direita). - Verifique que os ramos têm inclinações
e e que o gráfico fica com formato de “V” com vértice em .
Passo 8
Propriedades finais importantes para lembrar na prova:
- Domínio:
(todos os reais). - Contraste: função contínua em todo
. - Diferenciabilidade: não é diferenciável em
(há um “canto” — derivada à esquerda é , à direita é ). - Monotonicidade: estritamente decrescente em
e estritamente crescente em . - Imagem (alcance):
(o mínimo é no vértice).
Resposta
Vértice:
.
Intercepto em :
.
Domínio: .
Imagem: .]
Intercepto em
Domínio:
Imagem: