Esboce o gráfico de f(x)=|x-3|+2.

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar (desenhar) o gráfico da função f(x)=|x-3|+2.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=|x-3|+2.
  • Não há outras restrições; espera-se um esboço claro do gráfico com pontos importantes marcados.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de um jeito simples e prático.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0,\\[4pt] -a, & a < 0. \end{cases}
Isso significa que o valor absoluto transforma um número em seu equivalente não negativo: se a\] já é não negativo, fica igual; se \(a é negativo, troca de sinal.
No nosso caso a expressão dentro do valor absoluto é x-3. Vamos aplicar a definição do valor absoluto a x-3.]

Passo 3

Passo direto: escrever [f(x)) em forma peça a peça (piecewise), que é a forma que facilita desenhar.
Quando x-3 \ge 0, isto é, x \ge 3, temos |x-3| = x-3.
Quando x-3 < 0, isto é, x < 3, temos |x-3| = 3-x.
Portanto
f(x)=|x-3|+2 = \begin{cases} (3-x)+2 = 5-x, & x \le 3,\\[4pt] (x-3)+2 = x-1, & x \ge 3. \end{cases}
(Repare que em x=3\] ambas expressões dão o mesmo valor \(2, então a função é contínua aí.)]

Passo 4

Interpretando geometricamente: transformar o gráfico de |x|.
O gráfico de y=|x| é um “V” com vértice em (0,0), ramo esquerdo com inclinação -1 e ramo direito com inclinação +1.
A função f(x)=|x-3|+2 é obtida a partir de y=|x| por:
  • translação horizontal para a direita em 3 unidades (por causa do x-3),
  • translação vertical para cima em 2 unidades (por causa do +2).
Logo o vértice do “V” será deslocado de (0,0) para (3,2).

Passo 5

Identificar as retas que formam o “V” e suas inclinações.
Da forma peça a peça obtida:
  • Para x \le 3: f(x)=5-x. Isso é uma reta de inclinação -1 (coeficiente angular -1) e intercepto y- quando x=0 vale 5.
  • Para x \ge 3: f(x)=x-1. Isso é uma reta de inclinação +1 e intercepto y- quando x=0 vale -1 para essa expressão, mas atenção: essa expressão só vale para x\ge3; o valor real em x=0 vem da outra peça.
No ponto de união x=3 ambas as retas dão f(3)=2, que é o mínimo da função.

Passo 6

Calcular pontos-chave para marcar no esboço (faz tudo sem calculadora).
Vértice:
f(3)=|3-3|+2=0+2=2,
logo vértice em (3,2).
Intercepto em y (quando x=0):
f(0)=|0-3|+2=3+2=5,
logo ponto (0,5) está no gráfico (usado pela peça f(x)=5-x porque 0\le3).
Alguns pontos simétricos em torno de x=3:
f(2)=|2-3|+2=1+2=3 \quad\text{(ponto }(2,3)\text{)},
f(4)=|4-3|+2=1+2=3 \quad\text{(ponto }(4,3)\text{)},
f(1)=|1-3|+2=2+2=4 \quad\text{(ponto }(1,4)\text{)},
f(5)=|5-3|+2=2+2=4 \quad\text{(ponto }(5,4)\text{)}.
Não há raiz (valor 0) pois f(x)\ge2 para todo x.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (para a prova, rápido e seguro):
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Marque o vértice (3,2).
  3. Marque o ponto (0,5) e, se quiser simetria, (6,5) também (pois por inclinação simétrica).
  4. Trace a reta que passa por (0,5) e por (3,2); essa é a parte esquerda f(x)=5-x (extenda para a esquerda).
  5. Trace a reta que passa por (3,2) e por (4,3); essa é a parte direita f(x)=x-1 (extenda para a direita).
  6. Verifique que os ramos têm inclinações -1 e +1 e que o gráfico fica com formato de “V” com vértice em (3,2).

Passo 8

Propriedades finais importantes para lembrar na prova:
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os reais).
  • Contraste: função contínua em todo \mathbb{R}.
  • Diferenciabilidade: não é diferenciável em x=3 (há um “canto” — derivada à esquerda é -1, à direita é +1).
  • Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,3] e estritamente crescente em [3,\infty).
  • Imagem (alcance): [2,\infty) (o mínimo é 2 no vértice).

Resposta

f(x)=\begin{cases} 5-x, & x\le 3,\\[4pt] x-1, & x\ge 3, \end{cases}
Vértice: (3,2).
Intercepto em y: (0,5).
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [2,\infty).]

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