.
Assim, o conjunto solução é
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade e mostra uma manipulação:
A pergunta é: qual é o conjunto solução dessa desigualdade? Vou listar o que temos claramente:
- Temos a desigualdade final equivalente
. - É uma desigualdade do tipo produto maior que zero, com raízes em
e .
O objetivo é encontrar todos osque satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Rápida justificativa didática: por que podemos passar de
para
?
- Lembre que
para todo . A função é estritamente crescente em . Como e são ambos não-negativos, elevar ao quadrado preserva a desigualdade estrita. Portanto a equivalência é válida e não introduz soluções extranhas.
Passo 3
Vou mostrar a álgebra que leva a
, passo a passo:
Calcule as quadrados:
Calcule as quadrados:
Comparando
obtemos
Subtrai
de ambos os lados:
Colocando em forma fatorada:
Assim chegamos corretamente à desigualdade
.
Passo 4
Resolver
: como
, podemos dividir por
sem mudar o sinal, então equivalem:
Isto é um produto de dois fatores. Identificamos as raízes (pontos críticos) onde o produto é zero:
Para decidir onde o produto é positivo, fazemos um estudo de sinais por intervalos usando essas raízes:
- Para
: é negativo e também é negativo ⇒ produto . - Para
: é positivo e é negativo ⇒ produto . - Para
: é positivo e também é positivo ⇒ produto .
Portanto a desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Observação: em
e
o produto é zero, mas a desigualdade é estrita
, então esses pontos não pertencem à solução.
Passo 5
Resumo e checinha rápida com exemplos para ganhar confiança:
- Escolher
(no intervalo ): , funciona. - Escolher
(no intervalo ): , não funciona. - Escolher
(no intervalo ): , funciona.
Esses testes confirmam o estudo de sinais.