|x+1|<|2 x-1| \Leftrightarrow(x+1)^{2}<(2 x-1)^{2} \Leftrightarrow 3 x(x-2)>0.
Assim, o conjunto solução é

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade e mostra uma manipulação:
|x+1|<|2x-1|\Leftrightarrow (x+1)^{2}<(2x-1)^{2}\Leftrightarrow 3x(x-2)>0.
A pergunta é: qual é o conjunto solução dessa desigualdade? Vou listar o que temos claramente:
  • Temos a desigualdade final equivalente \,3x(x-2)>0.
  • É uma desigualdade do tipo produto maior que zero, com raízes em x=0 e x=2.
    O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Rápida justificativa didática: por que podemos passar de |x+1|<|2x-1| para (x+1)^2<(2x-1)^2?
  • Lembre que |y|\ge 0 para todo y. A função t\mapsto t^{2} é estritamente crescente em [0,\infty). Como |x+1| e |2x-1| são ambos não-negativos, elevar ao quadrado preserva a desigualdade estrita. Portanto a equivalência é válida e não introduz soluções extranhas.

Passo 3

Vou mostrar a álgebra que leva a 3x(x-2)>0, passo a passo:
Calcule as quadrados:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, \qquad (2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1.
Comparando (x+1)^{2}<(2x-1)^{2} obtemos
x^{2}+2x+1 < 4x^{2}-4x+1.
Subtrai x^{2}+2x+1 de ambos os lados:
0 < 3x^{2}-6x.
Colocando em forma fatorada:
0 < 3x^{2}-6x = 3(x^{2}-2x)=3x(x-2).
Assim chegamos corretamente à desigualdade \,3x(x-2)>0.

Passo 4

Resolver \,3x(x-2)>0: como 3>0, podemos dividir por 3 sem mudar o sinal, então equivalem:
x(x-2)>0.
Isto é um produto de dois fatores. Identificamos as raízes (pontos críticos) onde o produto é zero:
x=0\quad\text{e}\quad x=2.
Para decidir onde o produto é positivo, fazemos um estudo de sinais por intervalos usando essas raízes:
  • Para x<0: x é negativo e x-2 também é negativo ⇒ produto >0.
  • Para 0<x<2: x é positivo e x-2 é negativo ⇒ produto <0.
  • Para x>2: x é positivo e x-2 também é positivo ⇒ produto >0.
Portanto a desigualdade x(x-2)>0 é satisfeita quando x<0 ou x>2. Observação: em x=0 e x=2 o produto é zero, mas a desigualdade é estrita >0, então esses pontos não pertencem à solução.

Passo 5

Resumo e checinha rápida com exemplos para ganhar confiança:
  • Escolher x=-1 (no intervalo (-\infty,0)): 3(-1)((-1)-2)=3(-1)(-3)=9>0, funciona.
  • Escolher x=1 (no intervalo (0,2)): 3\cdot1\cdot(1-2)=3\cdot1\cdot(-1)=-3<0, não funciona.
  • Escolher x=3 (no intervalo (2,\infty)): 3\cdot3\cdot1=9>0, funciona.
    Esses testes confirmam o estudo de sinais.

Resposta

(-\infty,0)\cup(2,\infty)

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