Ex. 1. Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) e^-1x^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em R^2, que
lim(x,y)to(0,0) e^-1x^2+y^2 = 0
O conteúdo necessário é a prova varepsilon- de<a para limites de função de duas variáveis.

Passo 2

Observe que, para (x,y)neq(0,0), podemos definir
r = raizx^2 + y^2,
de modo que
e^-1x^2+y^2 = e^-1r^2
Então basta fazer rto0^+.

Passo 3

Seja varepsilon>0.
  • Se varepsilon>=1, como 0<e^-1/r^2<=1 para todo r>0, qualquer de<a>0 funciona.
  • Se 0<varepsilon<1, note que ln(1/varepsilon)>0. Defina
de<a = raiz1ln(1/varepsilon)
Então, sempre que
0<raizx^2+y^2=r<de<a,
temos
1r^2 > 1de<a^2 = lnl(1/varepsilonr) Longrightarrow -,1r^2<-lnl(1/varepsilonr) Longrightarrow e^-1r^2<e^-ln(1/varepsilon)=varepsilon
Isto mostra que, para esse de<a, sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a temos
l|e^-1x^2+y^2 - 0r| < varepsilon

Passo 4

Como para todo varepsilon>0 encontramos de<a>0 que garante l|e^-1/(x^2+y^2)-0r|<varepsilon sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a, a definição de limite fica satisfeita.

Resposta

lim(x,y)to(0,0) e^-1x^2+y^2 = 0

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