Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar identificar alguns pontos importantes, como interceptações, assíntotas e o comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. A interceptação com o eixo y acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o gráfico corta o eixo y no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos achar as interceptações com o eixo x, que ocorrem quando
. Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, o gráfico corta o eixo x no ponto
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais, que surgem onde o denominador é zero (já que a função não está definida nesses pontos). Resolvendo
:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal, que descreve o comportamento da função quando
tende ao infinito. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, os coeficientes são 3 (numerador) e
(denominador, pois
).
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas verticais. Para
próximo de -2 e 3, a função tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo do lado pelo qual nos aproximamos.
Passo 7
Finalmente, com todas essas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico:
- O gráfico corta o eixo y em
. - Corta o eixo x em
. - Possui assíntotas verticais em
e . - Possui uma assíntota horizontal em
. - O comportamento próximo às assíntotas verticais indica que a função cresce ou decresce sem limites nesses pontos.
Resposta
O gráfico da função
possui uma interceptação com o eixo y em
, corta o eixo x em
, tem assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. Com base nesses pontos e comportamentos, o esboço do gráfico apresenta ramos que se aproximam das assíntotas verticais e horizontal conforme descrito.