Esboce o gráfico da função f(x)=3 x+1(x+2)(x-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função f(x) = 3x + 1(x + 2)(x - 3) . Isso está dentro do conteúdo de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar identificar alguns pontos importantes, como interceptações, assíntotas e o comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos. A interceptação com o eixo y acontece quando x = 0 . Substituindo na função:
f(0) = 3(0) + 1(0 + 2)(0 - 3) = 1(2)(-3) = 1-6 = -16
Então, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, -16) .

Passo 3

Agora, vamos achar as interceptações com o eixo x, que ocorrem quando f(x) = 0 . Isso acontece quando o numerador é zero:
3x + 1 = 0 implies x = -13
Então, o gráfico corta o eixo x no ponto (-13, 0) .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais, que surgem onde o denominador é zero (já que a função não está definida nesses pontos). Resolvendo (x + 2)(x - 3) = 0 :
x + 2 = 0 implies x = -2 x - 3 = 0 implies x = 3
Então, temos assíntotas verticais em x = -2 e x = 3 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal, que descreve o comportamento da função quando x tende ao infinito. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, os coeficientes são 3 (numerador) e 1 (denominador, pois (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6 ).
y = 31 = 3
Então, a assíntota horizontal é y = 3 .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas verticais. Para x próximo de -2 e 3, a função tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo do lado pelo qual nos aproximamos.

Passo 7

Finalmente, com todas essas informações, podemos desenhar o esboço do gráfico:
  • O gráfico corta o eixo y em (0, -16) .
  • Corta o eixo x em (-13, 0) .
  • Possui assíntotas verticais em x = -2 e x = 3 .
  • Possui uma assíntota horizontal em y = 3 .
  • O comportamento próximo às assíntotas verticais indica que a função cresce ou decresce sem limites nesses pontos.

Resposta

O gráfico da função f(x) = 3x + 1(x + 2)(x - 3) possui uma interceptação com o eixo y em (0, -16) , corta o eixo x em (-13, 0) , tem assíntotas verticais em x = -2 e x = 3 , e uma assíntota horizontal em y = 3 . Com base nesses pontos e comportamentos, o esboço do gráfico apresenta ramos que se aproximam das assíntotas verticais e horizontal conforme descrito.

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