Sejam
e
com a propriedade
. Seja
uma curva tal que, para todo
no intervalo
. Prove que
é decrescente em
. Conclua que se
, for um ponto da circunferência
, então, para todo
pertencerá oa círculo
, interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá uma função
e um campo de vetores
tais que
Além disso,
satisfaz a EDO
Queremos mostrar que a função composta
é decrescente em
. Para isso usaremos a regra da cadeia.
Passo 2
Pela regra da cadeia, a derivada de
é
Passo 3
Como
e pela hipótese
segue
Logo
é não-crescente em
.
Passo 4
Agora escolha o potencial
Temos
e a condição
vira
Nesse caso
é não-crescente. Se em
tivermos
, então para todo
isto é,
permanece no disco
.
Passo 5
Geometricamente, a condição
diz que
aponta sempre para dentro (ou tangencialmente) das curvas de nível de
(os círculos centrados na origem). Assim, as trajetórias não saem do interior do círculo se começarem em sua borda.