Sejam V e F com a propriedade nabla V(x, y) cdot F(x, y) <= 0. Seja gamma(t)=(x(t), y(t)), t in I uma curva tal que, para todo t no intervalo I, gamma^prime(t)=F(gamma(t)). Prove que g(t)=V(gamma(t)) é decrescente em I. Conclua que se gamma(t0), t0 in I, for um ponto da circunferência x^2+y^2=r^2, então, para todo t >= t0, t in I, gamma(t) pertencerá oa círculo x^2+y^2 <= r^2, interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá uma função VcolonR^2toR e um campo de vetores vec FcolonR^2toR^2 tais que
nabla V(x,y)cdotvec F(x,y)<=0forall(x,y)
Além disso, gammacolon ItoR^2 satisfaz a EDO
gamma'(t)=vec Fl(gamma(t)r)
Queremos mostrar que a função composta
g(t)=Vl(gamma(t)r)
é decrescente em I. Para isso usaremos a regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra da cadeia, a derivada de g é
g'(t);=;ddtVl(gamma(t)r) ;=;nabla Vl(gamma(t)r)cdotgamma'(t)

Passo 3

Como gamma'(t)=vec Fl(gamma(t)r) e pela hipótese
nabla Vl(gamma(t)r)cdotvec Fl(gamma(t)r)<=0,
segue
g'(t)<=0
Logo g é não-crescente em I.

Passo 4

Agora escolha o potencial
V(x,y)=x^2+y^2
Temos
nabla V(x,y)=(2x,2y),
e a condição nabla Vcdotvec F<=0 vira
2(x,y)cdotvec F(x,y)<=0 ;Long<=ftrightarrow; (x,y)cdotvec F(x,y)<=0
Nesse caso
g(t)=x(t)^2+y(t)^2
é não-crescente. Se em t0 tivermos x(t0)^2+y(t0)^2=r^2, então para todo t>= t0
x(t)^2+y(t)^2 = g(t)<= g(t0)=r^2,
isto é, gamma(t) permanece no disco x^2+y^2<= r^2.

Passo 5

Geometricamente, a condição nabla Vcdotvec F<=0 diz que vec F aponta sempre para dentro (ou tangencialmente) das curvas de nível de V (os círculos centrados na origem). Assim, as trajetórias não saem do interior do círculo se começarem em sua borda.

Resposta

g'(t)=nabla V(gamma(t))cdotvec F(gamma(t))<=0, logo g(t) é decrescente. Para V(x,y)=x^2+y^2, se gamma(t0) está em x^2+y^2=r^2, então gamma(t) fica em x^2+y^2<= r^2 para todo t>= t0.

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