Exercício 19 Sejam
com
. Mostre que existe
tal que
. Interprete este resultado.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para uma base
fixa e qualquer inteiro não-negativo
, existe um expoente natural
tal que
O conteúdo envolve a noção de crescimento de sequência geométrica/exponencial e o uso de logaritmos para estimar quando
ultrapassa um valor dado.
Passo 2
Como
, a função real
é estritamente crescente. Logo, a desigualdade
é equivalente a
Aqui
é o único real
tal que
.
Passo 3
Sabendo que
é um número real, basta tomar
onde
é a parte inteira por baixo. Assim
Portanto existe
com
.
Passo 4
Interpretação: a sequência
cresce sem limite superior, ou seja, diverge para
. Em outras palavras, dado qualquer
, por maior que seja, basta escolher um expoente
suficientemente grande para que a potência
o ultrapasse.
Resposta
Basta escolher
pois então
.