Exercício 19 Sejam a, b in N com a>1. Mostre que existe n in N tal que a^n>b. Interprete este resultado.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para uma base ,a>1 fixa e qualquer inteiro não-negativo b, existe um expoente natural n tal que
a^n > b
O conteúdo envolve a noção de crescimento de sequência geométrica/exponencial e o uso de logaritmos para estimar quando a^n ultrapassa um valor dado.

Passo 2

Como a>1, a função real xmapsto a^x é estritamente crescente. Logo, a desigualdade
a^n > b
é equivalente a
n > loga(b)
Aqui loga(b) é o único real c tal que a^c = b.

Passo 3

Sabendo que loga(b) é um número real, basta tomar
n = llfloor loga(b)rrfloor + 1,
onde lfloor,cdot,rfloor é a parte inteira por baixo. Assim
n > loga(b) Longrightarrow a^n > a^loga(b) = b
Portanto existe ninN com a^n>b.

Passo 4

Interpretação: a sequência l(a^nr)n=0^infty cresce sem limite superior, ou seja, diverge para +infty. Em outras palavras, dado qualquer b, por maior que seja, basta escolher um expoente n suficientemente grande para que a potência a^n o ultrapasse.

Resposta

Basta escolher
n = llfloor loga(b)rrfloor + 1,
pois então a^n>b.

Exercícios relacionados