Esboce o gráfico da função f(x)=3 x^24 x^2-16. Mostrando passo a passo. Valor:25%.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional f(x)=3x^24x^2-16. O conteúdo envolve funções racionais e vamos precisar de: domínio, interceptos, assíntotas verticais e horizontais, estudo de sinais e comportamento junto às assíntotas para montar o esboço.

Passo 2

O domínio de f vem das restrições do denominador. Temos:

Passo 3

4x^2-16neq0Longrightarrow x^2neq4Longrightarrow xneqpm2

Passo 4

Logo, Dom(f)=(-infty,-2)cup(-2,2)cup(2,infty).

Passo 5

Os interceptos são as interseções com os eixos:

Passo 6

Para o eixo- x: f(x)=0 se e somente se o numerador 3x^2=0, logo x=0.

Passo 7

Para o eixo- y: basta x=0, e f(0)=0. Então há um único intercepto em (0,0).

Passo 8

As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador se anula, ou seja em x=2 e x=-2.

Passo 9

Como o grau do numerador é 2 e o do denominador também é 2, há assíntota horizontal dada pela razão dos coeficientes líderes:

Passo 10

y=34,

Passo 11

Para entender onde f é positiva ou negativa, note que o numerador 3x^2 é sempre não negativo e o denominador 4x^2-16 muda de sinal em x=pm2.

Passo 12

Em |x|>2: denominador positivo, logo f(x)>0.

Passo 13

Em -2<x<2: denominador negativo (exceto em zero), logo f(x)<0, mas em x=0 ela zera.

Passo 14

Próximo às assíntotas, investigue os limites laterais:

Passo 15

Para xto2^-, denom <0 dá f(x)to-infty.

Passo 16

Para xto2^+, denom >0 dá f(x)to+infty.

Passo 17

Analogamente em x=-2:

Passo 18

xto(-2)^- implica denom >0 e f(x)to+infty.

Passo 19

xto(-2)^+ implica denom <0 e f(x)to-infty.

Passo 20

Reunindo tudo, esboçamos dois ramos simétricos: um para x<-2 elevando de (-,infty) até a assíntota, outro para x>2; e um ramo negativo entre -2 e 2 cruzando em (0,0), aproximando-se de y=3/4 quando |x| cresce.

Passo 21

No esboço final, desenhe as retas x=-2, x=2 (verticais) e y=3/4 (horizontal) tracejadas, marque o ponto (0,0) e desenhe os ramos com os comportamentos indicados.

Resposta

O gráfico de f(x)=3x^24x^2-16 tem:
• Domínio: xneqpm2.
• Intercepto em (0,0).
• Assíntotas verticais em x=-2 e x=2.
• Assíntota horizontal em y=3/4.
f(x)>0 para |x|>2 e f(x)<0 para |x|<2.
• Limites: em xto2^-, fto-infty; em xto2^+, fto+infty; comportamento simétrico em -2.
Com essas informações desenha-se o esboço com dois ramos externos positivos e um ramo interno negativo cruzando a origem, aproximando-se de y=3/4 quando |x|toinfty.

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