Esboce o gráfico da função
. Mostrando passo a passo. Valor:25%.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo envolve funções racionais e vamos precisar de: domínio, interceptos, assíntotas verticais e horizontais, estudo de sinais e comportamento junto às assíntotas para montar o esboço.
Passo 2
O domínio de
vem das restrições do denominador. Temos:
Passo 3
Passo 4
Logo,
.
Passo 5
Os interceptos são as interseções com os eixos:
Passo 6
Para o eixo-
:
se e somente se o numerador
, logo
.
Passo 7
Para o eixo-
: basta
, e
. Então há um único intercepto em
.
Passo 8
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador se anula, ou seja em
e
.
Passo 9
Como o grau do numerador é 2 e o do denominador também é 2, há assíntota horizontal dada pela razão dos coeficientes líderes:
Passo 10
Passo 11
Para entender onde
é positiva ou negativa, note que o numerador
é sempre não negativo e o denominador
muda de sinal em
.
Passo 12
Em
: denominador positivo, logo
.
Passo 13
Em
: denominador negativo (exceto em zero), logo
, mas em
ela zera.
Passo 14
Próximo às assíntotas, investigue os limites laterais:
Passo 15
Para
, denom <0 dá
.
Passo 16
Para
, denom >0 dá
.
Passo 17
Analogamente em
:
Passo 18
Passo 19
Passo 20
Reunindo tudo, esboçamos dois ramos simétricos: um para
elevando de
até a assíntota, outro para
; e um ramo negativo entre
e
cruzando em
, aproximando-se de
quando
cresce.
Passo 21
No esboço final, desenhe as retas
,
(verticais) e
(horizontal) tracejadas, marque o ponto
e desenhe os ramos com os comportamentos indicados.
Resposta
O gráfico de
tem:
• Domínio: .
• Intercepto em .
• Assíntotas verticais em e
.
• Assíntota horizontal em .
• para
e
para
.
• Limites: em ,
; em
,
; comportamento simétrico em
.
Com essas informações desenha-se o esboço com dois ramos externos positivos e um ramo interno negativo cruzando a origem, aproximando-se de quando
.
• Domínio:
• Intercepto em
• Assíntotas verticais em
• Assíntota horizontal em
•
• Limites: em
Com essas informações desenha-se o esboço com dois ramos externos positivos e um ramo interno negativo cruzando a origem, aproximando-se de