Use o teorema do confronto para mostrar que lim t 0 x cos (x)=0. Valor: 25 %.

Passo 1

Temos que calcular o limite limxto 0 xcos(x) usando o Teorema do Confronto. O assunto aqui é limites de funções e, em especial, o Teorema do Confronto, que exige encontrar duas funções que “espremem” nossa função alvo, com limites iguais. Vamos aproveitar que cos(x) é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

O Teorema do Confronto (ou do sanduíche) diz que, se existirem funções f(x) e h(x) tais que f(x) <= g(x) <= h(x) numa vizinhança de x0 (exceto talvez em x0) e limxto x0f(x)=limxto x0h(x)=L, então limxto x0g(x)=L.

Passo 3

Sabendo que para todo x vale -1 <= cos(x) <= 1, multiplicamos essa desigualdade por |x|, obtendo

Passo 4

-|x| <= xcos(x) <= |x|. Essa forma com valor absoluto garante que não precisamos separar os casos x>0 e x<0.

Passo 5

Calculamos agora os limites das funções que “espremem” xcos(x): limxto0-|x|=0 e limxto0|x|=0. Como ambas tendem a 0 e xcos(x) está entre elas, pelo Teorema do Confronto concluímos que limxto0xcos(x)=0.

Resposta

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