Esboce o gráfico da função f(x)=l0, 0 <= t<3 t-3, 3 <= t<6 0, t >= 6.
Ache sua transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= 0, & 0<= t<3, t-3, & 3<= t<6, 0, & t>=6,
e pede (i) o esboço de f(t) e (ii) sua transformada de Laplace.
Conteúdo: uso de gráfico de função por partes e cálculo de transformada de Laplace via função degrau de Heaviside e teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Para esboçar f(t):
– No intervalo 0<= t<3 temos f(t)=0, então é o eixo horizontal.
– Em t=3 começa o ramo f(t)=t-3, que é uma reta de inclinação 1 passando por (3,0) até (6,3).
– Em t>=6 volta a ser 0, gerando um salto de 3 para 0 em t=6.
No desenho, marque ponto preenchido em (3,0), a reta subindo até (6,3) (com ponto aberto em (6,3)) e ponto preenchido em (6,0), e depois f=0.

Passo 3

Escrevemos f(t) usando a função degrau u(t):
f(t)=(t-3),l[u(t-3)-u(t-6)r]
Isso funciona porque u(t-3) “liga” o ramo em t=3 e u(t-6) “desliga” em t=6.

Passo 4

Pela linearidade e pelo teorema de deslocamento no tempo:
L(t-3),u(t-3)=e^-3s,Ltau|tau=t-3 =e^-3s,1s^2,
L(t-3),u(t-6) =e^-6s,Ltau+3|tau=t-6 =e^-6sl(1s^2+3sr)
Logo,
Lf(t) =L(t-3)[u(t-3)-u(t-6)] =e^-3ss^2 -l(1s^2+3sr)e^-6s

Resposta

boxedLf(t)(s) =e^-3ss^2 -l(1s^2+3sr)e^-6s

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