Nos problemas abaixo, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
x=2 cos t-3 sin t, x^prime prime+x=0

Passo 1

O enunciado dá a função
x(t)=2cos t-3sin t
e pede para verificar se ela satisfaz a equação diferencial
x''+x=0
O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas para testar se, ao substituir, obtemos zero.

Passo 2

Para calcular x'(t) e x''(t) usamos que
a derivada de cos t é -sin t e de sin t é cos t. Logo,
x'(t) = ddtl(2cos t - 3sin tr) = -2sin t - 3cos t,
x''(t) = ddtl(-2sin t - 3cos tr) = -2cos t + 3sin t

Passo 3

Substituindo na equação x''+x:
x''(t)+x(t) = l(-2cos t + 3sin tr) + l(2cos t - 3sin tr) = 0

Passo 4

Como ao substituir obtemos sempre zero, concluímos que
x''(t)+x(t)=0para todo t,
ou seja, a função satisfaz a equação diferencial indicada.

Resposta

Sim, a função x(t)=2cos t-3sin t é solução da equação diferencial x''+x=0.

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