Mostre que phi(x)=x^2 é uma solução explícita para
x d yd x=2 y
no intervalo (-infty, infty).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
phi(x)=x^2
é uma solução explícita da equação diferencial
x dydx = 2y
em todo o intervalo (-infty,infty). Vamos usar o método de verificação por substituição, ou seja, calcular phi'(x) e checar se, ao substituir y=phi(x) na equação, ela fica satisfeita.

Passo 2

Calcular a derivada de phi. Como phi(x)=x^2, aplicando a regra do poder temos
phi'(x)=ddxl(x^2r)=2x

Passo 3

Substituir y=phi(x) e dy/dx=phi'(x) na equação diferencial:
xdydx = xcdot l(2xr) = 2x^2 e 2y = 2cdot l(x^2r) = 2x^2
Como
xdydx=2x^2 e 2y=2x^2,
vemos que os dois lados coincidem.

Passo 4

Concluímos que, para todo xin(-infty,infty), a função phi(x)=x^2 satisfaz
xdphidx=2phi(x)
Logo, phi(x)=x^2 é de fato uma solução explícita da equação dada.

Resposta

A função phi(x)=x^2 satisfaz a equação x,dy/dx=2y em (-infty,infty), logo é uma solução explícita.

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