(2,0)
Represente \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(2 x_{i}-1\right) \Delta x_{i} como uma integral definida sobre o intervalo [0,4] e, em seguida, calcule o valor da integral.

Passo 1

O enunciado dá a soma
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\bigl(2x_i-1\bigr)\,\Delta x_i
sobre o intervalo [0,4]. Esse é exatamente o limite de uma soma de Riemann para a função f(x)=2x-1 em [0,4]. Vamos, então, representá-la como uma integral definida e depois calcular o valor.

Passo 2

Pela definição de integral como limite de soma de Riemann, temos
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\bigl(2x_i-1\bigr)\,\Delta x_i =\int_{0}^{4}\bigl(2x-1\bigr)\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{4}(2x-1)\,dx
aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Uma primitiva de 2x-1 é
F(x)=\int(2x-1)\,dx = x^2 - x.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de 0 a 4:
F(4)-F(0) = \bigl(4^2 - 4\bigr) - \bigl(0^2 - 0\bigr) = (16-4)-0 =12.

Resposta

12

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