Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=|x^2+2 x-3|;

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=l|x^2+2x-3r| e o conjunto imagem Im(f). O conteúdo aqui é manipular uma parábola p(x)=x^2+2x-3 e entender como o valor absoluto reflete as partes negativas para cima.

Passo 2

Primeiro analisamos a parábola interna p(x)=x^2+2x-3. Suas raízes vêm de
x^2+2x-3=0implies x=-2pmraiz4+122=-3,,1
A concavidade é para cima (coeficiente de x^2 positivo) e o vértice ocorre em x=-tfracb2a=-1, com valor
p(-1)=(-1)^2+2(-1)-3=1-2-3=-4

Passo 3

Para esboçar f(x)=|p(x)|, a gente faz assim:
  1. Para x<=-3 e x>=1, temos p(x)>=0, então f(x)=p(x) mantém o formato original da parábola.
  2. Para -3<x<1, p(x)<0, então a parte do gráfico de p(x) que ficaria abaixo do eixo x é refletida acima. Em particular, o ponto (-1,-4) vira (-1,4).
O esboço resultante mostra braços de parábola subindo para +infty quando xtopminfty, interceptos em (-3,0) e (1,0) e um “bump” máximo em (-1,4).

Passo 4

Do gráfico vemos que o valor mínimo de f(x) é 0 (atingido em x=-3 e x=1) e não há teto superior (à medida que |x| cresce, f(x)to+infty). Logo
Im(f)=[0,infty)

Resposta

Im(f)=[0,infty)

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