Mostre que os limites abaixo não existem.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. Esse é um problema de limites de funções de duas variáveis, e a ideia principal é verificar que o valor do quociente depende do caminho de aproximação a
. Vamos testar duas trajetórias diferentes para ver se chegamos a resultados discrepantes.
Passo 2
Primeira trajetória: aproximar por
. Substituindo
na expressão, obtemos
Logo, ao longo da reta
, o limite vale
Passo 3
Segunda trajetória: aproximar por
. Então
sempre que
. Assim, ao longo da parábola
, o limite vale
Passo 4
Como pelos dois caminhos obtivemos valores diferentes —
ao longo de
e
ao longo de
— o limite não pode ser único.
Resposta
O limite
não existe.