Mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+x y^2;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+x,y^2
não existe. Esse é um problema de limites de funções de duas variáveis, e a ideia principal é verificar que o valor do quociente depende do caminho de aproximação a (0,0). Vamos testar duas trajetórias diferentes para ver se chegamos a resultados discrepantes.

Passo 2

Primeira trajetória: aproximar por y=0. Substituindo y=0 na expressão, obtemos
xcdot 0^2x^2+xcdot 0^2 =0x^2=0
Logo, ao longo da reta y=0, o limite vale
lim(x,0)to(0,0) x,0^2x^2+x,0^2=0

Passo 3

Segunda trajetória: aproximar por x=y^2. Então
x,y^2x^2+x,y^2 =y^2cdot y^2(y^2)^2+y^2cdot y^2 =y^4y^4+y^4 =y^42,y^4 =tfrac12,
sempre que yneq0. Assim, ao longo da parábola x=y^2, o limite vale
lim(y^2,y)to(0,0) y^42,y^4=tfrac12

Passo 4

Como pelos dois caminhos obtivemos valores diferentes — 0 ao longo de y=0 e tfrac12 ao longo de x=y^2 — o limite não pode ser único.

Resposta

O limite
lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+x,y^2
não existe.

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