Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=|x+3|+|x-4|;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=l|x+3r|+l|x-4r|
e determinar o conjunto imagem Im(f).
O conteúdo principal é a manipulação de valores absolutos, que conduz a funções lineares por trechos. Vamos identificar onde cada módulo muda de sinal e depois montar o gráfico e a imagem.

Passo 2

Os argumentos dos módulos são x+3 e x-4. Eles mudam de sinal em x=-3 e em x=4. Portanto dividimos o domínio em três intervalos:
  1. x<= -3, onde x+3<=0 e x-4<=0.
  2. -3<= x<=4, onde x+3>=0 e x-4<=0.
  3. x>=4, onde x+3>=0 e x-4>=0.

Passo 3

Em cada trecho substituímos lvert urvert por u ou -u, conforme o sinal:
f(x)= -(x+3)-(x-4)=-2x+1, & x<= -3, (x+3)-(x-4)=7, & -3<= x<=4, (x+3)+(x-4)=2x-1, & x>=4

Passo 4

Vamos analisar o formato do gráfico:
  • Para x<= -3, f(x)=-2x+1 é uma reta decrescente de coeficiente angular -2. No ponto x=-3 vale
    ;f(-3)=-2(-3)+1=7.
  • Entre -3 e 4, f(x)=7 é constante, um segmento horizontal.
  • Para x>=4, f(x)=2x-1 é uma reta crescente de coeficiente angular 2. Em x=4 temos
    ;f(4)=2cdot4-1=7.
Assim o gráfico desce até o ponto (-3,7), fica plano nesse nível até (4,7), e a partir daí sobe indefinidamente.

Passo 5

Da forma como o gráfico está, o menor valor de f é 7, que ocorre para todo xin[-3,4]. Para xtopminfty, f(x)to+infty. Logo o conjunto imagem é todos os valores a partir de 7.

Resposta

Im(f)=[7,infty).

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