Esboce o gráfico da função e determine o conjunto ;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
e determinar o conjunto imagem Im(f).
O conteúdo principal é a manipulação de valores absolutos, que conduz a funções lineares por trechos. Vamos identificar onde cada módulo muda de sinal e depois montar o gráfico e a imagem.
Passo 2
Os argumentos dos módulos são x+3 e x-4. Eles mudam de sinal em x=-3 e em x=4. Portanto dividimos o domínio em três intervalos:
x<= -3, onde x+3<=0 e x-4<=0.
-3<= x<=4, onde x+3>=0 e x-4<=0.
x>=4, onde x+3>=0 e x-4>=0.
Passo 3
Em cada trecho substituímos lvert urvert por u ou -u, conforme o sinal:
Para x<= -3, f(x)=-2x+1 é uma reta decrescente de coeficiente angular -2. No ponto x=-3 vale ;f(-3)=-2(-3)+1=7.
Entre -3 e 4, f(x)=7 é constante, um segmento horizontal.
Para x>=4, f(x)=2x-1 é uma reta crescente de coeficiente angular 2. Em x=4 temos ;f(4)=2cdot4-1=7.
Assim o gráfico desce até o ponto (-3,7), fica plano nesse nível até (4,7), e a partir daí sobe indefinidamente.
Passo 5
Da forma como o gráfico está, o menor valor de f é 7, que ocorre para todo xin[-3,4]. Para xtopminfty, f(x)to+infty. Logo o conjunto imagem é todos os valores a partir de 7.