Use a Regra de L’Hospital para calcular os valores dos seguintes limites:
lim x 0 2 sen(4 x)tg(5 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto02sin(4x)tan(5x),
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolve identificação de forma indeterminada 0/0 e derivações de sin e tan.

Passo 2

Ao substituir x=0 temos
sin(4cdot0)=0 e tan(5cdot0)=0,
logo a expressão tem forma indeterminada 0/0, permitindo aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente:
– Numerador N(x)=2sin(4x) Rightarrow
N'(x)=2cdot4cos(4x)=8cos(4x)
– Denominador D(x)=tan(5x) Rightarrow usando ddxtan(u)=u'sec^2(u),
D'(x)=5sec^2(5x)
Pela Regra de L’Hospital,
limxto02sin(4x)tan(5x) =limxto08cos(4x)5sec^2(5x)

Passo 4

Simplificando a expressão derivada:
8cos(4x)5sec^2(5x) = 8cos(4x)5,(1/cos^2(5x)) = 85,cos(4x)cos^2(5x)
Ao xto0, cos(4x)to1 e cos(5x)to1, então
limxto085cos(4x)cos^2(5x) =85cdot1cdot1^2 =85

Resposta

85

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