Mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) 4 x^2+y^2+x^3 y^3x^2+y^2+x^4 y^4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0)4x^2+y^2+x^3y^3x^2+y^2+x^4y^4
não existe. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos usar aproximação por caminhos distintos para obter valores diferentes.

Passo 2

Aproximando pelo eixo y=0, temos
4x^2+0+x^3cdot 0x^2+0+x^4cdot 0 =4x^2x^2=4(xneq0)
Logo
lim(x,0)to(0,0)4x^2+y^2+x^3y^3x^2+y^2+x^4y^4=4

Passo 3

Aproximando pelo eixo x=0, temos
0+y^2+00+y^2+0 =y^2y^2=1(yneq0)
Logo
lim(0,y)to(0,0)4x^2+y^2+x^3y^3x^2+y^2+x^4y^4=1

Passo 4

Os valores obtidos pelos dois caminhos são diferentes (4 e 1). Portanto, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados