Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=cccx+2 & se & x<0 sen(x) & se & x >= 0;

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x+2, & x<0, sin(x), & x>=0,
e pede (i) o esboço do gráfico e (ii) o conjunto imagem Im(f). Vamos analisar cada ramo separadamente para desenhar e depois unir os valores obtidos.

Passo 2

Para x<0 temos
f(x)=x+2,
que é uma reta de inclinação 1 e intercepto em y=2.
– Quando xto-infty, f(x)to-infty.
– Quando xto0^-, f(x)to2, mas em x=0 esse ramo não está definido (círculo aberto em (0,2)).
Logo o conjunto de valores desse ramo é
(-infty,2)

Passo 3

Para x>=0 temos
f(x)=sin(x),
que é a curva senoidal iniciando em sin(0)=0 (círculo fechado em (0,0)) e oscilando para sempre entre -1 e 1. Assim, o ramo senoidal atinge todos os valores de
[-1,1]

Passo 4

Agora unimos as imagens dos dois ramos:
(-infty,2);cup;[-1,1]
Como [-1,1]subset(-infty,2), a união é simplesmente
(-infty,2)

Resposta

Im(f)=(-infty,2)

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