Esboce o gráfico da função e determine o conjunto operatornameIm(f)
f(x)=cos (x+pi2)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=cos!l(x+pi2r)
e determinar o conjunto imagem Im(f). Vamos usar transformações em funções trigonométricas e propriedades de amplitude e período.

Passo 2

Usamos a identidade
cos!l(x+pi2r) = -sin x
Logo podemos reescrever
f(x) = -sin x,
o que facilita traçar o esboço, pois conhecemos bem o gráfico de sin x.

Passo 3

O gráfico de y=-sin x é uma reflexão vertical de y=sin x, mantém amplitude 1 e período 2pi. Nos pontos-chave de um período temos:
em x=0, f(0)=-sin0=0;
em x=tfracpi2, f(tfracpi2)=-1;
em x=pi, f(pi)=0;
em x=tfrac3pi2, f(tfrac3pi2)=1;
em x=2pi, f(2pi)=0.
Basta marcar esses pontos e ligar com curvas suaves para obter o esboço de uma onda senoidal invertida.

Passo 4

Como sin x varia entre -1 e 1, o mesmo vale para -sin x. Portanto
Im(f)=,yin R mid -1<= y<=1 = [-1,1]

Resposta

Im(f)=[-1,1]

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