O plano x=7 m é percorrido por uma corrente de 45 mA / m ao longo de az, enquanto a linha x=1 m e y=-4 m é percorrida por uma corrente filamentar de 35 mA ao longo de âz. Determine o campo magnético no ponto ( 5 m, 6 m, 4 m ).

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético no ponto (5,6,4) devido a duas contribuições:
  1. Uma superfície de corrente infinita na reta x=7 (plano x=7) com densidade de corrente superficial ,K=45 mA/m ao longo de hat az.
  2. Um fio infinito localizado na linha x=1,;y=-4 com corrente I=35 mA ao longo de hat az.
O conteúdo que vamos usar é:
  • Para a superfície de corrente infinita, o campo magnético em cada lado é constante e dado por Bfolha=mu0,K2, com direção dada pela regra da mão direita.
  • Para o fio infinito, o campo no ponto é Bfio=mu0,I2pi,R, onde R é a distância do fio ao ponto, e a direção é circular ao redor do fio (regra da mão direita).

Passo 2

Cálculo de B devido à superfície de corrente na folha x=7.
A densidade superficial é K=45 mA/m=45times10^-3, A/ m. Pela regra de Ampère, o módulo de B em qualquer lado da folha é
l|Bfolhar| =mu0,K2 com mu0=4pitimes10^-7,H/m
No ponto x=5 (que fica à esquerda da folha x=7), a direção de Bfolha é -hat ay.
Logo,
Bfolha =-mu0,K2,hat ay =-4pitimes10^-7times45times10^-32,hat ay =-9pitimes10^-9,hat ay ( T)

Passo 3

Cálculo de B devido ao fio infinito em x=1,;y=-4.
A distância do fio ao ponto (5,6) no plano xy é
R =raiz(5-1)^2+(6-(-4))^2 =raiz4^2+10^2 =raiz116
O módulo de Bfio é
l|Bfior| =mu0,I2pi,R =4pitimes10^-7times35times10^-32pi,raiz116 =2times35times10^-10raiz116 = 70times10^-10raiz116
A direção é tangencial ao redor do fio. Tomando a posição do fio como origem para o cálculo da direção, o vetor radial no plano é
rho =(5-1),hat ax+(6-(-4)),hat ay =4,hat ax+10,hat ay
A direção hat aphi é hat aztimesrho/|rho|, então
hat aphi =hat aztimes(4,hat ax+10,hat ay)raiz116 =4,hat ay-10,hat axraiz116
Assim,
Bfio =mu0,I2pi,R,hat aphi =4pitimes10^-7times35times10^-32pi,times116 l(4,hat ay-10,hat axr) =-6,03times10^-10,hat ax +2,41times10^-10,hat ay ( T)

Passo 4

Somamos vetorialmente as duas contribuições:
Btotal =Bfolha+Bfio =l(-6,03times10^-10r)hat ax +l(-9pitimes10^-9+2,41times10^-10r)hat ay
Numericamente, -9pitimes10^-9approx-2,83times10^-8, então
Btotal approx -6,03times10^-10,hat ax -2,81times10^-8,hat ay ( T)

Resposta

B(5,6,4) approx -6,03times10^-10,hat ax -2,81times10^-8,hat ay T

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