Esboçe um gráfico de uma funçao f com domínio como o conjunto de todos os números reais que satisfazem todas as seguintes condições:
a) f é contínua para todo x;
b) f é uma função par;
c) f é uma função crescente no intervalo [0,2] e decrescente no intervalo [2,+infty[;
d) f(2)=3.

Passo 1

Temos uma função com domínio R, contínua, par, crescente em [0,2], decrescente em [2,infty[ e com f(2)=3.

Passo 2

Como f é par, basta definir seu comportamento para x>=0 e então refletir em torno do eixo y. Para atender à monotonia e ao valor f(2)=3, podemos usar uma parábola invertida centrada em x=2.

Passo 3

Definimos
f(x)=3-(|x|-2)^2
que é contínua em R, par (depende de |x|), satisfaz f(2)=3 e para x>=0 temos
g’(x)=-2(x-2),
que é positivo em 0<= x<2 (crescente) e negativo em x>2 (decrescente).

Passo 4

Para esboçar, marcamos pontos-chave: f(0)=3-(0-2)^2=-1, f(2)=3, f(4)=3-(4-2)^2=-1. Depois desenhamos em [0,infty[ a parábola invertida com vértice em (2,3) e refletimos simetricamente para x<0.

Resposta

O gráfico é dado por uma parábola invertida em |x|, com vértices em (2,3) e (-2,3), atingindo o mínimo -1 em x=0 e x=4, simétrica em torno do eixo y. Em fórmula:
f(x)=3-(|x|-2)^2

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