Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(e^x+3 x)^arcsin (x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(e^x+3xr)^arcsin(x^2)
O conteúdo principal é a derivação de uma função na forma g(x)^h(x). Para resolver, usamos a derivada logarítmica: se f(x)=g(x)^h(x) então
f'(x)f(x)=h'(x)lnl(g(x)r)+h(x),g'(x)g(x)

Passo 2

Definimos
g(x)=e^x+3x, h(x)=arcsin(x^2)
Logo
f(x)=g(x)^,h(x) Longrightarrow f'(x)=f(x)l[h'(x)lnl(g(x)r)+h(x),g'(x)g(x)r]

Passo 3

Calculamos g'(x) e h'(x):
Para g(x)=e^x+3x,
g'(x)=e^x+3
Para h(x)=arcsinl(x^2r), usamos l(arcsin ur)'=u'/raiz1-u^2 com u=x^2, logo
u'=2x Longrightarrow h'(x)=2xraiz1-(x^2)^2 =2xraiz1-x^4

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=g(x)^h(x)l[h'(x)lnl(g(x)r)+h(x),g'(x)g(x)r],
obtemos
f'(x)=l(e^x+3xr)^arcsin(x^2) gl[ 2xraiz1-x^4,lnl(e^x+3xr) +arcsin(x^2),e^x+3,e^x+3x, gr]

Resposta

boxed f'(x)=l(e^x+3xr)^arcsin(x^2) gl[ 2xraiz1-x^4lnl(e^x+3xr) +arcsin(x^2)e^x+3e^x+3x gr]

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