Seja F(x, y, z)=x y z i+x^2 z2 j+y k.
Calcule rot F.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y,z)=xyz,i+x^2z2,j+y,k
e pede para calcular o rotacional (curl) de F.
Conteúdo: cálculo do operador nablatimesF usando derivadas parciais.

Passo 2

O rotacional de um campo F=(F1,F2,F3) é dado por
nablatimesF = i&j&k partialpartial x& partialpartial y& partialpartial z F1&F2&F3
ou, de forma componente a componente,
(nablatimesF)i =partial F3partial y-partial F2partial z, (nablatimesF)j =-l(partial F3partial x-partial F1partial zr), (nablatimesF)k =partial F2partial x-partial F1partial y

Passo 3

Identificamos
F1=xyz, F2=x^2z2, F3=y
Para a componente i:
partial F3partial y =partialpartial y(y)=1, partial F2partial z =partialpartial zl(x^2z2r) =x^22,
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(nablatimesF)i =1-x^22

Passo 4

Para a componente j:
partial F3partial x =partialpartial x(y)=0, partial F1partial z =partialpartial z(xyz)=xy,
portanto
(nablatimesF)j =-l(0 - xyr) =xy

Passo 5

Para a componente k:
partial F2partial x =partialpartial xl(x^2z2r) =xz, partial F1partial y =partialpartial y(xyz) =xz,
assim
(nablatimesF)k =xz - xz =0

Passo 6

Reunindo as três componentes, obtemos
nablatimesF =l(1-tfracx^22r),i +xy,j +0,k

Resposta

nablatimesF =l(1-tfracx^22r)i+xy,j

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